拓扑绝缘体与超导体的分类与特性

### 拓扑绝缘体与超导体的分类与特性 #### 引言 在拓扑量子物质与量子计算领域，拓扑绝缘体和超导体的研究是一个关键方向。理解它们的分类和特性对于深入探索量子物理现象、开发量子技术具有重要意义。本文将围绕拓扑绝缘体和超导体的分类方法、相关理论以及它们的一些重要特性展开讨论。 #### 拓扑分类的基本概念 要对拓扑绝缘体和超导体进行分类，需要确定从布里渊区到投影算子空间的映射的同伦群。对于不同对称类的哈密顿量，同伦群的性质有所不同。 - **对称类A的哈密顿量**：$Q(k)$ 是格拉斯曼流形 $G_{n,n + m}(C)$ 的元素，相关同伦群 $\pi_d[G_{n,n + m}(C)]$ 在奇数空间维度时为平凡群 $\{1\}$，在偶数维度时为 $\mathbb{Z}$。这意味着整数量子霍尔型态只存在于偶数维空间，例如二维空间。 - **手征对称类AIII的哈密顿量**：相关同伦群是 $\pi_d[U(n)]$，在偶数维度时为 $\{1\}$，奇数维度时为 $\mathbb{Z}$。此外，添加时间反演对称性和/或电荷共轭对称性会对 $Q(k)$ 施加额外的约束。 #### 拓扑绝缘体和超导体的分类方法 有几种方法可用于建立非相互作用拓扑绝缘体和超导体的分类，主要包括基于K - 理论的方法和利用体 - 边界对应关系的方法。 ##### K - 理论分类 K - 理论分类基于对有能隙体哈密顿量的同伦结构的系统研究。拓扑K - 理论的关键思想是对向量丛进行分类，不仅考虑同伦等价，还考虑稳定等价。这意味着在比较两个对象时，可以通过添加平凡丛（直和）来进行扩充。物理上，这对应于添加前面讨论过的平凡能带，例如与内原子壳层相关的能带。这些平凡能带通常存在，但在考虑有限维哈密顿量时常常被忽略。 对于每个对称类，零维简化哈密顿量（如 $Q(0)$）定义了一个所谓的分类空间。拓扑绝缘体的“周期表”源于分类空间的同伦群以及其遵循的周期性，这种周期性源于K - 理论中的博特周期性。值得注意的是，分类空间恰好是通用哈密顿量对称分类中出现的十个对称空间。 |对称类|时间演化算子 $\exp(itH)$|分类空间|NLσM目标空间| | ---- | ---- | ---- | ---- | |A|$U(n) \times U(n)/U(n)$|$U(n + m)/U(n) \times U(m)$|$U(2n)/U(n) \times U(n)$| |AIII|$U(n + m)/U(n) \times U(m)$|$U(n) \times U(n)/U(n)$|$U(n) \times U(n)/U(n)$| |AI|$U(n)/O(n)$|$O(n + m)/O(n) \times O(m)$|$Sp(2n)/Sp(n) \times Sp(n)$| |BDI|$O(n + m)/O(n) \times O(m)$|$O(n) \times O(n)/O(n)$|$U(2n)/Sp(2n)$| |D|$O(n) \times O(n)/O(n)$|$O(2n)/U(n)$|$O(2n)/U(n)$| |DIII|$SO(2n)/U(n)$|$U(2n)/Sp(2n)$|$O(n) \times O(n)/O(n)$| |AII|$U(2n)/Sp(2n)$|$Sp(n + m)/Sp(n) \times Sp(n)$|$O(2n)/O(n) \times O(n)$| |CII|$Sp(n + m)/Sp(n) \times Sp(m)$|$Sp(n) \times Sp(n)/Sp(n)$|$U(n)/O(n)$| |C|$Sp(2n) \times Sp(2n)/Sp(2n)$|$Sp(2n)/U(n)$|$Sp(2n)/U(n)$| |CI|$Sp(2n)/U(n)$|$U(n)/O(n)$|$Sp(2n) \times Sp(2n)/Sp(2n)$| 确定了每个Altland - Zirnbauer对称类的分类空间后，可以使用相应分类空间 $V$ 的同伦群 $\pi_0(V)$ 来确定零维哈密顿量 $H$ 所属对称类的等价类数量（即拓扑上不同的相）。例如，在对称类A中，$\pi_0(V_A) = \mathbb{Z}$，这意味着存在无限多个由整数拓扑不变量分类的 $d = 0$ 不同相；而在对称类AIII中，$\pi_0(V_{AIII}) = \{1\}$，即只有平凡相。 K - 理论预测存在两个复分类空间族 $C_0 = V_A$ 和 $C_1 = V_{AIII}$，对应于没有时间反演或粒子 - 空穴对称性的哈密顿量；以及八个实分类空间族 $R_0 = V_{AI}, \cdots, R_7 = V_{CI}$，对应于至少有一个实条件（$T$ 或 $C$）的哈密顿量。根据博特周期性，复分类空间和实分类空间对 $q$ 的依赖分别以模2和模8的方式出现： $C_{q + 2} = C_q$， $R_{q + 8} = R_q$。 对于每个对称类 $\lambda$ 和给定的空间维度 $d$，分类空间 $V_{\lambda}(d)$ 对应于克利福德代数扩展问题的解。最终的拓扑分类是根据相应分类空间的零阶同伦群 $\pi_0(V_{\lambda}(d))$ 进行的，结果得到拓扑绝缘体和超导体的“周期表”。 ##### 基于体 - 边界对应关系的分类 另一种推导“周期表”的方法是由Schnyder等人提出的，基于所谓的体 - 边界对应关系。拓扑绝缘体和超导体的一个定义性属性是在系统与“拓扑平凡”状态（如真空）的边界（界面）处必然存在无隙态。体的拓扑性质与无隙边界自由度的性质之间存在一一对应关系，因此拓扑绝缘体本质上是“全息”系统，体状态的拓扑性质由无隙边界模式“揭示”。 在拓扑绝缘体边界存在稳健