图论中的随机图生成算法详解

# 图论中的随机图生成算法详解 ## 1. 引言 在图论研究和实际应用中，常常需要生成各种类型的随机图，如随机正则图、随机生成树、随机带标签树、随机无标签有根树和随机连通图等。这些随机图的生成有助于模拟实际场景、进行算法测试和验证等。本文将详细介绍这些随机图的生成方法、参数说明以及代码实现，并给出相应的示例。 ## 2. 随机正则图（Random Regular Graph） ### 2.1 生成步骤 随机正则图是指每个节点的度数都相同的无向简单图。生成随机正则图的步骤如下： 1. 初始化一个包含 `n` 个节点但没有边的图。 2. 检查图中每个节点的度数是否都达到 `d`，如果是则停止。 3. 随机选择两个度数小于 `d` 且不相邻的节点 `u` 和 `v`。若找不到这样的节点，则进入步骤 5。 4. 在图中添加边 `(u, v)`，然后回到步骤 2。 5. 若存在一个节点的度数小于 `d`，则进入步骤 7。 6. 从图中随机选择两个度数小于 `d` 的相邻节点 `r` 和 `s`，再随机选择两个相邻节点 `p` 和 `q`，使得 `p` 不与 `r` 相邻，`q` 不与 `s` 相邻。移除边 `(p, q)`，并添加边 `(p, r)` 和 `(q, s)`，然后回到步骤 2。 7. 存在一个度数小于 `d` 的节点 `r`，随机选择两个不与 `r` 相邻的相邻节点 `p` 和 `q`。移除边 `(p, q)`，并添加边 `(p, r)` 和 `(q, r)`，然后回到步骤 2。 ### 2.2 参数说明 | 参数 | 说明 | | ---- | ---- | | `n` | 图的节点数，节点标签从 1 到 `n` | | `degree` | 每个节点的要求度数，若 `degree` 为奇数，则 `n` 必须为偶数 | | `seed` | 随机数生成器的种子 | | `nodei` 和 `nodej` | 存储边的数组，第 `i` 条边从节点 `nodei[i]` 到节点 `nodej[i]` | ### 2.3 代码实现 ```java public static int randomRegularGraph(int n, int degree, long seed, int nodei[], int nodej[]) { int i,j,numedges,p,q,r=0,s=0,u,v=0; int permute[] = new int[n + 1]; int deg[] = new int[n + 1]; boolean adj[][] = new boolean[n+1][n+1]; boolean more; Random ran = new Random(seed); // initialize the adjacency matrix for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=n; j++) adj[i][j] = false; // initialize the degree of each node for (i=1; i<=n; i++) deg[i] = 0; // check input data consistency if ((degree % 2) != 0) if ((n % 2) != 0) return 1; if (n <= degree) return 2; // generate the regular graph iterate: while (true) { randomPermutation(n,ran,permute); more = false; // find two non-adjacent nodes each has less than required degree u = 0; for (i=1; i<=n; i++) if (deg[permute[i]] < degree) { v = permute[i]; more = true; for (j=i+1; j<=n; j++) { if (deg[permute[j]] < degree) { u = permute[j]; if (!adj[v][u]) { // add edge (u,v) to the random graph adj[v][u] = adj[u][v] = true; deg[v]++; deg[u]++; continue iterate; } else { // both r & s are less than the required degree r = v; s = u; } } } } if (!more) break; if (u == 0) { r = v; // node r has less than the required degree, // find two adjacent nodes p and q non-adjacent to r. for (i=1; i<=n-1; i++) { p = permute[i]; if (r != p) if (!adj[r][p]) for (j=i+1; j<=n; j++) { q = permute[j]; if (q != r) if (adj[p][q] && (!adj[r][q])) { // add edges (r,p) & (r,q), delete edge (p,q) adj[r][p] = adj[p][r] = true; adj[r][q] = adj[q][r] = true; adj[p][q] = adj[q][p] = false; deg[r]++; deg[r]++; continue iterate; } } } } else { // nodes r and s of less than required degree, find two // adjacent nodes p & q such that (p,r) & (q,s) are not edges. for (i=1; i<=n; i++) { p = permute[i]; if ((p != r) && (p != s)) if (!adj[r][p]) for (j=1; j<=n; j++) { q = permute[j]; if ((q != r) && (q != s)) if (adj[p][q] && (!adj[s][q])) { // remove edge (p,q), add edges (p,r) & (q,s) adj[p][q] = adj[q][p] = false; adj[r][p] = adj[p][r] = true; adj[s][q] = adj[q][s] = true; deg[r]++; deg[s]++; continue iterate; } } } } } numedges = 0; for (i=1; i<=n; i++) for (j=i+1; j<=n; j++) if (adj[i][j]) { numedges++; nodei[numedges] = i; nodej[numedges] = j; } return 0; } ``` ### 2.4 示例 ```java package GraphAlgorithms; public class Test_randomRegularGraph extends Object { public static void main(String args[]) { int k; int n = 8; int degree = 3; long seed = 1; int edges = (n * degree) / 2; int nodei[] = new int[edges+1]; int nodej[] = new int[edges+1]; k = GraphAlgo.randomRegularGraph(n,degree,seed,nodei,nodej); if (k != 0) System.out.println("invalid input data, error code = " + k); else { System.out.print("List of edges:\n from: "); for (k=1; k<=edges; k++) System.out.print(" " + nodei[k]); System.out.print("\n to: "); for (k=1; k<=edges; k++) System.out.print(" " + nodej[k]); System.out.println(); } } } ``` ### 2.5 输出示例 ```plaintext List of edges: from: 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 to: 2 3 8 5 7 4 6 6 8 7 8 7 ``` ### 2.6 流程图 ```mermaid graph TD; A[初始化图] --> B{节点度数是否都为d}; B -- 是 --> C[结束]; B -- 否 --> D{找到不相邻且度数小于d的u和v}; D -- 是 --> E[添加边(u, v)]; E --> B; D -- 否 --> F{是否有一个节点度数小于d}; F -- 是 --> G[执行步骤7]; G --> B; F -- 否 --> H[执行步 ```