纯函数式语言Clean中程序的时态属性验证

### 纯函数式语言 Clean 中程序的时态属性验证 在函数式编程领域，验证程序的时态属性对于确保程序的正确性和安全性至关重要。本文将介绍一种在纯函数式语言 Clean 中验证程序时态属性的方法，通过具体的示例展示如何使用不变性和除非属性来描述和证明程序的安全性。 #### 条件最大搜索算法 条件最大搜索（Conditional Maximum Search，简称 cms）算法用于在区间 `[low..high]` 中找到一个元素，使得在满足条件 `cond` 的元素中，函数 `fun` 达到最大值。该算法可以使用高阶函数 `while` 来实现。 ```haskell while :: (a -> Bool) (a -> a) a -> a while p f x | p x = while p f (f x) | otherwise = x ``` `cms` 算法在 Clean 中的实现如下： ```haskell :: State = State Int (Maybe (Int,Real)) cms :: Int -> Int -> (Int -> Real) -> (Int -> Bool) -> Maybe Int cms low high fun cond = case (while loop_condition loop_body (State low Nothing)) of (State _ Nothing) -> Nothing (State _ (Just (maxpos,maxval))) -> Just maxpos where loop_condition :: State -> Bool loop_condition (State pos _) = (pos <= high) loop_body :: State -> State loop_body (State pos maybeMax) | not (cond pos) = State (pos+1) maybeMax loop_body (State pos Nothing) = State (pos+1) (Just (pos, fun pos)) loop_body (State pos max=:(Just (maxpos,maxval))) | curr > maxval = State (pos+1) (Just (pos, curr)) | otherwise = State (pos+1) max where curr = fun pos ``` #### 不变性属性 不变性用于描述系统的安全需求，具有组合性。如果一个条件是程序所有组件的不变性，那么它也是整个程序的不变性。在 `cms` 算法中，我们关注的是一个循环不变性。 为了捕获循环不变性的概念，我们需要识别对象并将程序中构成对象不同状态的表达式绑定在一起。在这个例子中，有一个类型为 `State` 的对象 `state`，其状态变化发生在 `while` 函数的定义中。`while` 函数的定义中有两个状态转换： 1. 从 `y` 产生 `f y`。 2. 从 `z` 产生 `while p f z`。 转换后的 `while` 函数定义如下： ```haskell while_ p f (.|. state x) | p (.|. state x) .#. (.|. state x) = f (.|. state x) .#. (.|. state x) = while_ p f (.|. state x) | otherwise = (.|. state x) ``` 为了表达不变性属性，我们还需要一些辅助函数： ```haskell pos (State int _) = int maxpos (State _ (Just mpos _)) = mpos maxval (State _ (Just _ mval)) = mval ``` 该算法的不变性属性是：如果在 `low` 和 `pos state` 之间存在一个 `k` 使得 `cond` 成立，那么 `state` 中存储了一个“最大值”，并且存储的最大值不小于 `fun k`。 为了提高可读性，我们引入了一些缩写： - `Def(x)` 缩写为公式 `¬(x = ⊥)`。 - `DefFun(f)` 缩写为公式 `∀k. ((low ≤ k ∧ k ≤ high) → ¬(f k = ⊥))`。 - “A” 缩写为引入的变量 `state :: State, l