基于条件转移图的运动模式建模

### 基于条件转移图的运动模式建模 在运动模式建模领域，理解和表示对象在空间中的移动规律是至关重要的。条件转移图（Conditional Transition Map，CT - map）及其扩展的时间条件转移图（Temporal Conditional Transition Map，T - CT - map）为我们提供了一种强大的工具来捕捉和分析这些运动模式。 #### 1. 基础概念 一个入口转移可能会关联多个出口转移，这可能由两种情况导致：一是该位置的动态特性遵循特定模式，如T形交叉路口；二是物体通常会同时占据多个单元格，因此其占用状态的转移也会同时发生在多个单元格中。 #### 2. 动态表示 ##### 2.1 条件模型 条件模型通过条件概率来建模入口转移和出口转移之间的依赖关系。条件概率是指在另一个事件已经发生的情况下，某个事件发生的概率。与假设单元格相互独立的模型相比，条件模型具有两个优势： - 包含了占用状态在单元格边界上转移的方向和速度信息，而不仅仅是对每个单元格的状态变化进行建模。 - 具有更强的预测能力，而不仅仅是存储过去的观测数据。 ##### 2.2 条件转移图（CT - map） CT - map是一种基于网格的表示方法，它将转移概率建模为给定入口转移（En）时出口转移（Ex）的条件概率。每个单元格需要维护64个参数，因为对于每个单元格，需要为八个可能的入口方向分别计算八个条件概率。 ##### 2.3 时间条件转移图（T - CT - map） CT - map的主要缺点是忽略了转移的时间方面。为了解决这个问题，T - CT - map在CT - map的基础上，增加了描述入口转移持续时间和出口转移持续时间之间依赖关系的条件概率。入口持续时间（$\Delta T_{En}$）是指物体从一个单元格的空闲状态变为占用状态到中心单元格变为占用状态的时间间隔；出口持续时间（$\Delta T_{Ex}$）的定义类似。转移时间的分布被建模为二元正态分布，其均值向量$\mu$和协方差矩阵$\Sigma$分别为： $\mu = \begin{bmatrix} \mu_{T_{En}} \\ \mu_{T_{Ex}} \end{bmatrix}$ $\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{T_{En}}^2 & \rho\sigma_{T_{En}}\sigma_{T_{Ex}} \\ \rho\sigma_{T_{En}}\sigma_{T_{Ex}} & \sigma_{T_{Ex}}^2 \end{bmatrix}$ 其中，$\mu_{T_{En}}$和$\sigma_{T_{En}}$分别表示入口持续时间的均值和方差，$\mu_{T_{Ex}}$和$\sigma_{T_{Ex}}$分别表示出口持续时间的均值和方差，$\rho$表示入口和出口持续时间之间的相关性。 #### 3. 参数学习 ##### 3.1 离线学习 离线学习CT - map和T - CT - map的步骤如下： 1. 创建一系列占用网格地图。 2. 提取每个单元格的二进制占用时间序列。 3. 检测每个邻域中的占用转移。 4. 计算每个中心单元格的每个转移的条件概率。条件概率$P(Ex_I|En_J)$的计算公式为： $P(Ex_I|En_J) = \frac{\#Ex_{I|J}}{\#En_J}$ 5. （仅适用于T - CT - map）计算用于建模入口和出口转移持续时间的正态分布参数。输入数据是描述相应入口转移$t_{En_J}$和出口转移$t_{Ex_I}$的持续时间对$t$： $t = \begin{bmatrix} t_{En_J} \\ t_{Ex_I} \end{bmatrix}$ 使用最大似然估计器根据$K$个观测值计算联合分布的均值$\mu$和协方差矩阵$\Sigma$： $\mu = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^{K} t_k$ $\Sigma = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^{K} (t_k - \mu)(t_k - \mu)^T$ ##### 3.2 在线学习 离线学习方法的主要缺点是无法更新现有模型，并且需要存储所有观测数据直到参数估计完成，这对于大型数据集来说可能是一个很大的负担。在线学习也需要更新每个单元格的两组参数：条件转移概率和入口/出口持续时间的分布。 - 对于转移概率，在线参数估计过程可以表示为更新每个转移对应的计数器，并在需要时计算概率。 - 为了计算描述转移时间的正态分