金融工程中的C++实现：单因子与双因子期权定价

### 金融工程中的 C++ 实现：单因子与双因子期权定价 在金融工程领域，使用 C++ 进行期权定价是一项重要的技术。本文将介绍如何使用 C++ 实现单因子和双因子期权定价，包括相关的代码示例、输出展示方式以及一些实践项目。 #### 单因子 Black - Scholes 方程的 C++ 实现 首先，我们来看单因子 Black - Scholes 方程的 C++ 实现。以下是一段创建期权和相关对象的代码示例： ```cpp InstrumentFactory* myFactory = GetInstrumentFactory(); Option* myOption = myFactory->CreateOption(); // Derived implementation class BSIBVPImp bs (*myOption); bs.opt = myOption; ``` 在这个代码中，我们通过 `GetInstrumentFactory` 函数获取一个工厂对象，然后使用该工厂创建一个期权对象。接着，我们创建了一个 `BSIBVPImp` 类的实例，并将期权对象赋值给它。 ##### 向量和矩阵输出 有限差分方法的输出通常是某种数据结构，包含了在特定时间点和标的资产价值下的期权价格。我们还可以计算期权的 delta 和 gamma，这可以通过对期权价格进行差分来实现。 在当前的框架中，我们使用两个 `Vector` 实例和一个 `NumericMatrix` 实例。向量分别存储时间层 `n`（上一层）和 `n + 1`（当前层）的值，而矩阵存储所有时间层（直到 `N`，其中 `Nk = T`）和所有标的资产空间点（包括边界）的值。计算出所需的值后，我们可以自由决定如何展示它们。 ##### 输出展示方式 有多种方式可以展示计算得到的值，主要包括以下两种： - **控制台输出**：适用于快速调试。我们有两个通用函数用于这种展示： ```cpp template <class V, class I> void print(const Array<V,I>& array); template <class V, class I> void print(const Matrix<V,I>& array); ``` - **Excel 输出**：用于更详细和复杂的展示。主要函数包括： - 在 Excel 中展示向量 - 在 Excel 中展示向量列表 - 在 Excel 中展示矩阵 以下是一个在 Excel 中使用这些函数的示例： ```cpp ImplicitIBVP fdm2(i2, N, J); Mesher m(rangeX, rangeT); Vector<double, long> XARR = m.xarr(6); Vector<double, long> vec = fdm.result()[2]; printOneExcel(XARR, vec, string("explicit"); Vector<double, long> vec2 = fdm2.result()[2]; printOneExcel(XARR, vec2, string("implicit"); ``` ##### 实践项目 为了进一步理解和应用这些知识，我们可以进行一些实践项目： 1. **性能优化**：对于隐式 Euler 方案，我们可以使用指针来替代数组复制，以提高性能。以下是相关代码示例： ```cpp // Defining arrays (input) Vector<V,I> * a; // The lower - diagonal array [1..J] Vector<V,I> * b; // The diagonal array [1..J] "baseline array" Vector<V,I> * c; // The upper - diagonal array [1..J] Vector<V,I> * r; // Right - hand side of equation Au = r [1..J] ``` 2. **LU 分解与复数**：在某些情况下，我们需要求解系数为复数的线性方程组。以一维时间相关的线性 Schrödinger 方程为例，我们可以使用有限差分方法进行近似求解。具体的差分方案包括显式 Euler FTCS 方案、隐式 Euler BTCS 方案和 Cayley 形式（Crank Nicolson 方案）。以下是一个简单的 2×2 复系统求解示例： ```cpp J = 2; Vector<Complex, long> A(J,1,Complex(1.0, 0.0)); Vector<Complex, long> B(J,1,Complex(0.0, 1.0)); Vector<Complex, long> C(J,1,Complex(1.0, 0.0)); Vector<Complex, long> R(J,1,Complex(0.0, 0.0)); R[1] = Complex(0.0, 2.0); LUTridiagonalSolver<Complex, long> mySolver2(A, B, C, R); Vector<Complex, long> result2 = mySolver2.solve(); print(result2); ``` 3. **障碍期权**：本章的有限差分方案适用于连续监控的单因子障碍期权问题。我们可以支持单障碍和双障碍问题，并且可以轻松建模常数、时间相关和指数障碍，还能将回扣函数纳入边界条件。隐式 Euler 方案在障碍附近通常能给出较好的结果。在某些情况下，边界条件可能在有限个点处不连续，这时可能需要对这些不连续函数进行平均或平滑处理，以避免近似解的不准确。如果要对离散监控的障碍期权进行建模，需要修改框架中的某些类，并且需要确定监控日期的跳跃条件。 4. **美式期权**：当前代码仅适用于欧式期权，但可以很容易地扩展到美式看跌（和看涨）期权。对于美式看跌期权，我们需要确保期权价格 `P` 满足约束条件 `P(S, t) ≥ max(K - S, 0)`，其中 `K` 是执行价格，`S` 是标的资产价格。在差分方案中，我们可以在时间层 `n + 1` 检查这个约束条件： ```cpp un+1 j = max(un+1 j , max(K - Sj, 0)) ``` 我们需要在不影响欧式期权现有功能的前提下，将这个特性集成到框架中。 5. **二阶精度**：隐式 Euler BTCS 方案在时间上是一阶精度的。我们可以通过在大小为 `k` 和 `k/2` 的网格上两次应用 BTCS 方案来实现二阶精度。以下是一个标量初值问题的代码示例： ```cpp void calculate() { // Extrapolated implicit Euler; create two solutions on k/2 // and k called v(k/2) and v(k), respectively. Then form // the new array 2*v(k/2) - v(k). Code can be optimised (later) // Refined mesh and solution Vector<double, long> res2 (2*N + 1, 1); double k2 = k * 0.5; res2[res2.MinIndex()] = (ivp -> startValue()); for (long i = res2.MinIndex() + 1; i <= res2.MaxIndex(); i++) { res2[i] = ( res2[i-1] + (k2 * ivp->f(i*k2)) ) / ( 1.0 + (k2 * ivp->a(i*k2)) ); } // Rougher mesh Vector<double, long> res1 (N + 1, 1); res1[res1.MinIndex()] = (ivp -> startValue()); for (long ii = res1.MinIndex() + 1; ii <= res1.MaxIndex(); ii++) { res1[ii] = ( res1[ii-1] + (k* ivp->f(ii*k)) ) / ( 1.0 + (k* ivp->a(ii*k)) ); } // Extrapolated solution for (long iii = res1.MinIndex() + 1; iii <= res1.MaxIndex(); iii++) { res[iii] = (2.0 * res2[(2*iii)]) - res1[iii]; } } ``` 我们的目标是将这段代码推广到当前的初边值问题，并将其集成到框架中。 6. **近似计算 Greeks**：本章的 C++ 代码生成一个值矩阵，其中行表示时间层，列表示标的资产的离散值。我们可以利用这个事实，通过差分来近似计算期权价格的 delta、gamma 和 theta。实现这个功能并将其集成到框架中时，需要考虑使用何种数据结构。 7. **线性插值**：如果我们想计算两个给定网格点之间某点的期权价格，可以先确定该点所在的子区间，然后使用线性插值来计算期权价格。如果选择使用三次样条插值，可以使用 LU 求解器。 #### 双因子期权定价：篮子期权和其他多资产期权 接下来，我们讨论双因子期权定价，主要关注篮子期权。篮子期权是一种涉及多个标的资产的期权，每个资产在“篮子”中有一