柔性集及其相关集合的比较与运算

# 柔性集及其相关集合的比较与运算 ## 1. 柔性集的类型与定义 柔性集不仅包含核心中心，还涉及核心边界点、核心边界线或核心边界平面。在一维测量空间中，单点核心柔性集的隶属函数是三角形或半三角形函数。以核心数为 \(n\) 的单点核心柔性集为例，其隶属函数的常见表达式如下： \[ m_n(x) = \begin{cases} 0, & a \leq x \leq s^-_n \\ \frac{x - s^-_n}{c^-_n - s^-_n}, & s^-_n < x < n \\ 1, & x = n \\ \frac{s^+_n - x}{s^+_n - c^+_n}, & n < x < s^+_n \\ 0, & s^+_n \leq x \leq b \end{cases} \] 从柔性集的定义可以看出，柔性集可视为普通（刚性）集的扩展，而普通集则是柔性集的收缩，二者关系类似于一维几何空间和二维几何空间的关系。用柔性集的术语来说，柔性概念的外延表示可以说是一个柔性集。 ## 2. 柔性集与模糊集的比较 ### 2.1 模糊集的定义 设 \(X\) 为论域集合，\(\mu: X \to [0, 1]\) 是从 \(X\) 到区间 \([0, 1]\) 的映射，则集合 \(A = \{(x, \mu(x)) | x \in X, \mu(x) \in [0, 1]\}\) 称为 \(X\) 的模糊子集，其中 \(\mu(x)\)（\(x \in X\)）称为 \(A\) 的隶属函数。集合 \(S_1 = \{x | x \in X, \mu(x) = 1\}\) 和 \(S_2 = \{x | x \in X, 0 < \mu(x) \leq 1\}\) 分别称为模糊集 \(A\) 的核心和支撑集。 ### 2.2 柔性集与模糊集的关系 如果去掉柔性集定义中的某些条件，并将测量空间 \(U\) 变为普通集合 \(X\)，柔性集的定义就变成了模糊集的定义。这意味着数值柔性集实际上是一种特殊的模糊集，实体柔性集基于数值柔性集，其隶属函数也等同于相应数值柔性集的隶属函数，所以实体柔性集也是一种特殊的模糊集。 ### 2.3 柔性集与模糊集的区别 - **概念区分**：柔性集明确区分实体对象及其测量，区分数值柔性集和实体柔性集，并以前者为后者的基础；而模糊集没有这种明确区分，只给出了模糊集的一般概念。 - **内涵要求**：数值柔性集的基集必须是连续测量空间，核心和支撑集非空，一维柔性集的隶属函数是梯形函数；而模糊集没有这些要求，只给出了一般的隶属函数（映射：\(X \to [0, 1]\)），隶属函数的形状缺乏客观依据，只能主观确定。 - **与柔性概念的关系**：任何柔性概念的外延都可以用柔性集表示，反之亦然；但模糊集与柔性概念的关系并非如此，例如非连续论域中的模糊子集不一定表示柔性概念，没有核心的模糊集也不代表任何柔性概念。实际上，许多离散模糊集只是相应柔性概念实例的子集，在这个意义上，柔性集是这类模糊集的背景集。 综上所述，使用模糊集对柔性概念进行建模存在问题，而我们使用数值柔性集对柔性属性概念建模，使用实体柔性集对柔性实体概念建模，相比之下，模糊集理论不区分二者，使用模糊集建模的弊端明显。 ## 3. 柔性集与粗糙集的比较 ### 3.1 粗糙集的定义 设 \(U\) 为论域集合，\(R\) 是 \(U\) 上的等价关系。\(X \subseteq U\) 不能由商集 \(U/R\) 中的某些等价类 \([x]_R\)（\(x \in U\)）的并集精确表示，但可以由两个近似于 \(X\) 的并集粗略表示，那么 \(X\) 称为 \(U\) 的粗糙子集，简称粗糙集。这两个共同描述 \(X\) 的集合分别称为粗糙集 \(X\) 的上近似和下近似，分别记为 \(\overline{R}(X)\) 和 \(\underline{R}(X)\)，即： \[ \overline{R}(X) = \bigcup_{i} \{Y_i | Y_i \in U/R, Y_i \cap X \neq \varnothing\} \] \[ \underline{R}(X) = \bigcup_{j} \{Y_j | Y_j \in U/R, Y_j \subseteq X\} \] 差 \(BN_R(X) = \overline{R}(X) - \underline{R}(X)\) 称为 \(X\) 的边界。 ### 3.2 柔性集与粗糙集的相似性 - 二者都由相应论域中的两个子集确定。 - 如果将数值柔性集中的元素视为等价类，实体柔性集中的元素根据“测量相同”的等价关系并入等价类，那么柔性集的核心对应粗糙集的下近似，支撑集对应上近似，边界对应粗糙集的边界。 - 对于核心内和支撑集外对象的隶属情况，柔性集和粗糙集完全相同。例如，对于论域 \(U\) 中的柔性集 \(A\)，若 \(x \in core(A)\)，则 \(m_A(x) = 1\)，\(x\) 肯定是 \(A\) 的成员；若 \(x \notin supp(A)\)，则 \(m_A(x) = 0\)，\(x\) 肯定不是 \(A\) 的成员。 ### 3.3 柔性集与粗糙集的区别 - **分类情况**：柔性集有数值柔性集和实体柔性集的区分，而粗糙集没有这种分类。 - **论域要求**：数值柔性集所属的论域必须是测量空间，而粗糙集没有此限制。 - **描述方式**：粗糙集使用等价类来描绘和描述论域的另一个子集；柔性集虽然也可以看作使用等价类描述，但更明显的是直接使用论域元素和隶属度来描绘和描述子集。柔性集的核心和支撑集由人脑对连续量的柔性聚类确定，具有很强的主观性；而粗糙集的上下近似是通过数学方法构造的，完全客观。 - **边界处理**：在处理边界对象的隶属情况时，二者截然不同。对于柔性集，边界中的对象以一定隶属度属于柔性集；对于粗糙集，边界中的对象以一定概率属于粗糙集。也就是说，柔性集边界中的对象肯定具有核心成员的属性，只是程度不同；而粗糙集边界中的对象不一定具有下近似成员的属性，一旦具有则完全具有该属性。从逻辑上讲，前者是“有点真”，后者是“可能真”。此外，柔性集边界中对象属于柔性集的程度与该对象到核心的距离负相关，而粗糙集边界中对象属于粗糙集的概率与该对象到下近似的距离无关。 综上所述，柔性集和粗糙集既有重要的相似性，也有本质的区别。柔性集针对不精确信息，而粗糙集针对不确定信息。 ## 4. 柔性集的基本关系 ### 4.1 基本关系的定义 设 \(U\) 为 \(n\) 维测量空间，\(A\) 和 \(B\) 是 \(U\) 中的两个柔性子集： - 若 \(supp(A) \cap supp(B) = \varnothing\)，则称柔性集 \(A\) 和 \(B\) 不相交。 - 若 \(supp(A) \cap supp(B) \neq \varnothing\)，则称柔性集 \(A\) 和 \(B\) 相交。 - 若 \(supp(A) \subseteq supp(B)\)，则称柔性集 \(A\) 包含于柔性集 \(B\)，或 \(B\) 包含 \(A\)；特别地，若 \(core(A) \subseteq core(B)\)，则称柔性集 \(A\) 正常包含于柔性集 \(B\)，记为 \(A \subseteq B\)。 除非另有说明，柔性集之间的包含关系通常指正常包含。二维柔性集的不相交、相交和包含关系的文氏图表示如下： ```mermaid graph LR classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke- ```