统计检验方法与R语言实现

# 统计检验方法与R语言实现 ## 1. 非配对t检验的包装函数 在非配对t检验中，有一个经验法则可用于决定是否使用合并方差估计。我们可以编写一个包装函数，根据这个经验法则决定是否应以`var.equal = FALSE`执行`t.test`。 ### 函数要求 - 函数应接受四个定义的参数：`x`和`y`无默认值，处理方式与`t.test`中的相同参数一致；`var.equal`和`paired`的默认值与`t.test`相同。 - 应包含省略号（`...`），以表示要传递给`t.test`的任何其他参数。 - 执行时，函数应确定`paired`是否为`FALSE`： - 如果`paired`为`TRUE`，则无需进行合并方差检查。 - 如果`paired`为`FALSE`，则函数应使用经验法则自动确定`var.equal`的值。 - 如果`var.equal`的值是自动设置的，它将覆盖用户最初提供的该参数的任何值。 - 然后，适当地调用`t.test`。 ### 示例代码 ```R # 编写包装函数 my_t_test <- function(x, y, var.equal = FALSE, paired = FALSE, ...) { if (!paired) { # 这里应添加经验法则判断var.equal的逻辑 # 假设这里只是简单示例，实际需要根据具体经验法则实现 var.equal <- TRUE } return(t.test(x, y, var.equal = var.equal, paired = paired, ...)) } ``` ## 2. 比例检验 在统计建模和假设检验中，关注均值是很常见的，但也需要考虑样本比例，样本比例可解释为一系列n次二元试验的均值，结果为成功（1）或失败（0）。这里主要介绍参数比例检验，即假设目标抽样分布为正态分布的Z检验。 ### 2.1 单比例检验 单样本比例的抽样分布在满足一定条件下是正态分布，均值为真实比例π，标准误差为√π(1 - π)/n。条件是试验独立，n不是“太小”，π不是“太接近”0或1。 #### 经验法则 检查n和π的条件，只需检查`n * ˆp`和`n * (1 - ˆp)`是否都大于5，其中`ˆp`是π的样本估计值。 #### 示例 假设一个人注意到在吃某快餐连锁店的午餐后，他在一定时间内容易肠胃不适。一位博主认为吃这种食物后不久肠胃不适的概率为20%。这个人想确定他的真实肠胃不适率π是否与博主所说的不同，他在n = 29次不同的午餐中记录了是否肠胃不适。 - **假设**： - $H_0$: π = 0.2 - $H_A$: π ≠ 0.2 - **计算**： ```R sick <- c(0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,1) # 成功次数 successes <- sum(sick) # 样本比例 p_hat <- mean(sick) # 检查条件 n <- length(sick) n * 0.2 n * 0.8 # 计算检验统计量Z Z <- (p_hat - 0.2) / sqrt(0.2 * 0.8 / n) # 计算p值 p_value <- 2 * (1 - pnorm(Z)) # 计算95%置信区间 ci <- p_hat + c(-1, 1) * qnorm(0.975) * sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / n) ``` - **结果**： - 成功次数：8 - 样本比例：0.2758621 - 检验统计量Z：1.021324 - p值：0.3071008 - 95%置信区间：[0.1131927, 0.4385314] 由于p值大于0.05，没有足够证据拒绝$H_0$，即不能说明这个人的肠胃不适比例与博主所说的20%不同。 #### R函数`prop.test` ```R prop.test(x = sum(sick), n = length(sick), p = 0.2, correct = FALSE) ``` ### 2.2 双比例检验 通过对标准误差的修改，可以比较来自独立总体的两个估计比例。通常检验两个比例是否相同，即差异是否为零，所以典型的零假设值为零。 #### 示例 考虑一组学生参加统计学考试，233名心理学专业学生中有180人通过，197名地理专业学生中有175人通过。假设地理专业学生的统计学通过率高于心理学专业学生。 - **假设**： - $H_0$: π2 - π1 = 0 - $H_A$: π2 - π1 > 0 - **计算**： ```R x1 <- 180 n1 <- 233 p_hat1 <- x1 / n1 x2 <- 175 n2 <- 197 p_hat2 <- x2 / n2 # 计算合并比例p* p_star <- (x1 + x2) / (n1 + n2) # 计算检验统计量Z Z <- (p_hat2 - p_hat1) / sqrt(p_star * (1 - p_star) * (1 / n1 + 1 / n2)) # 计算p值 p_value <- 1 - pnorm(Z) # 计算95%置信区间 ci <- (p_hat2 - p_hat1) + c(-1, 1) * qnorm(0.975) * sqrt(p_hat1 * (1 - p_hat1) / n1 + p_hat2 * (1 - p_hat2) / n2) ``` - **结果**： - 心理学专业样本通过率：0.7725322 - 地理专业样本通过率：0.8883249 - 合并比例p*：0.8255814 - 检验统计量Z：3.152693 - p值：0.0008088606 - 95%置信区间：[0.04628267, 0.18530270] 由于p值远小于0.05，拒绝$H_0$，有足够证据支持地理专业学生的通过率高于心理学专业学生。 #### R函数`prop.test` ```R prop.test(x = c(x2, x1), n = c(n2, n1), alternative = "greater", correct = FAL ```