傅里叶级数在脉冲多普勒雷达波形设计中的应用及相关问题探讨

### 傅里叶级数在脉冲多普勒雷达波形设计中的应用及相关问题探讨 #### 1. 傅里叶级数练习与雷达波形设计概述 在傅里叶级数的学习中，有一个练习要求绘制方波一个周期内 $|e_{100}(t)|$ 的图像，并与图 C - 16 进行比较。为了清晰展示不连续点附近的近似行为，需要在一个周期内的数千个时间点上评估误差信号。 雷达是利用电磁波传播来测量固定天线与另一个（可能移动的）物体之间距离的系统。在雷达信号设计中，频谱为波形时域参数的选择提供了数学上的权衡依据。图 C - 13 所示的频移脉冲波是许多雷达中使用的脉冲多普勒雷达波形的基础，同样的波形也用于生物医学超声测量血流。这种波形能够同时测量距离和速度，适用于使用单个换能器发射和接收信号的系统。 #### 2. 雷达测距原理 “RADAR” 是 “RAdio Detection And Ranging” 的缩写，最简单的雷达测量是目标（或反射器）的距离。测距的基本原理是：发射一个短脉冲，它在大气中传播，从物体反射后返回接收天线。通过测量从脉冲开始到反射脉冲返回发射位置的时间来确定距离。在雷达系统中，通常使用单个天线进行发射和接收。 由于信号以光速 $c = 3×10^8 m/s$ 传播，如果发射和接收使用同一个天线，发射的雷达信号必须非常短，以便能够区分发射脉冲和目标的回波。例如，要检测距离为 1500 m 的近距离反射目标，往返时间为： \[ \tau_d = 2\times\frac{d}{c} = 2\times\frac{1500}{3\times10^8} = 1000\times10^{-8} = 10\ \mu s \] 为了清晰接收返回脉冲，发射脉冲的持续时间 $\tau$ 必须小于 10 μs。而对于距离为 120 km 的远距离目标，往返时间为 800 μs，因此近距离目标对发射脉冲的持续时间施加了更严格的限制。 实际的雷达系统发射的是周期性脉冲正弦波信号，形式为： \[ r(t) = p(t)\cos(2\pi F_rt + \phi) \] 其中 $p(t)$ 是如图 C - 13(a) 所示的周期性开/关脉冲信号。这种信号的频谱以 $F_r$ 为中心，通过调整正弦脉冲的中心频率 $F_r$，可以将雷达信号频谱定位在电磁传输最有效的频率上。每个脉冲沿着天线指向的方向对环境进行 “距离采样”，通过发送重复脉冲并旋转天线，可以扫描周围空间。 #### 3. 基于多普勒频移测量速度 速度测量基于多普勒频移原理，在日常生活中，如行驶火车的喇叭声变化就是多普勒频移的体现。在雷达中，当反射目标朝向或远离雷达天线移动时，也会发生相同的频率变化。多普勒频移是警察雷达测速和气象雷达测量风速的基础。 假设发射的雷达信号是连续波（非脉冲）正弦波： \[ s(t) = A\cos(2\pi F_rt + \phi) \] 信号从雷达天线传播，被距离为 $d_0$ 且相对于雷达天线以速度 $v$ 移动的目标（如移动的雨云）反射。假设 $v$ 远小于电磁波传播速度 $c = 3×10^8 m/s$，则往返时间延迟为 $\tau_d = 2(d_0 - vt)/c$，接收到的信号为： \[ \hat{s}(t) = B\cos(2\pi F_r(t - \tau_d) + \phi) = B\cos(2\pi F_r(1 + 2v/c)t - 4\pi d_0F_r/c + \phi) \] 返回信号的频率为 $F_r + F_d = F_r(1 + 2v/c)$，多普勒频移 $F_d$ 为： \[ F_d = \frac{2v}{c}F_r\ Hz \] 其中 $v$ 是目标的径向速度，$F_r$ 是雷达使用的射频。由于 $c$ 远大于目标速度，多普勒频移相对于典型雷达频率 $F_r$ 非常小。例如，对于 1 GHz 的雷达，30 m/s 的风速会产生 200 Hz 的多普勒频移。 在频域中，如果雷达信号是纯正弦波，其频谱由位于 $\pm F_r$ 的两条线组成。当多普勒频移为正（$F_d > 0$）时，频谱线向上移动到 $\pm (F_r + F_d)$；当多普勒频移为负（$F_d < 0$）时，频谱线向下移动。雷达接收器需要测量频率偏移量，然后通过以下公式计算目标速度： \[ v = \frac{1}{2}\frac{c}{F_r}F_d\ m/s \] 由于频率偏移相对于 $F_r$ 极小，准确测量目标速度依赖于检测频谱线从 $F_r$ 到 $F_r \pm F_d$ 的微小移动。然而，无限长的正弦波信号无法用于测距，因为测距需要短脉冲（如 $\tau = 10\ \mu s$）来检测时间延迟 $\tau_d$。解决方案是使用图 C - 19 所示的频移周期性脉冲信号，即脉冲多普勒波形。 #### 4. 脉冲多普勒雷达波形 发射的频移正弦信号为： \[ r(t) = p(t)\cos(2\pi F_rt + \phi),\ -\infty < t < \infty \] 其中 $p(t)$ 是脉冲持续时间为 $\tau$、脉冲重复周期为 $T_0 = 1/F_0$ 的周期性开/关信号。为了简化讨论，假设 $F_r = MF_0$，则信号 $r(t)$ 具有周期 $T_0$，其频谱在频率 $kF_0$（$k$ 为整数）处有无限多条线。 在雷达天线处，发射和接收信号在时间上不能重叠。为了使每个周期内返回的脉冲与发射脉冲区分开来，到最近目标的往返时间必须大于脉冲宽度 $\tau$，脉冲波的周期还必须满足范围约束，即到最远目标的往返时间必须在一个周期内。因此，要求 $T_0 \geq \tau + 2d_{max}/c$，其中 $\tau$ 是脉冲长度，$d_{max}$ 是最大范围。 假设 $r(t)$ 的持续时间为无限长，发射的雷达信号由无限多个周期为 $T_0$ 的正弦脉冲组成。由于 $r(t)$ 是周期为 $T_0$ 的信号，其频谱线间隔为 $F_0$。例如，当 $F_r