基于密度峰值的快速准确K-means聚类方法

### 基于密度峰值的快速准确 K-means 聚类方法 在数据挖掘和机器学习领域，聚类分析是一项重要的任务。传统的 K-means 算法虽然简单高效，但存在一些局限性，如难以处理非球形聚类和对初始质心敏感等问题。为了解决这些问题，研究人员提出了许多改进的聚类算法，其中基于密度峰值的 K-means 算法（Density Peaks K-means，DPKM）是一种新颖且有效的方法。 #### 1. 相关背景和理论基础 ##### 1.1 标准 K-means 的局限性 标准 K-means 算法主要适用于处理球形聚类，对于非球形聚类的处理效果不佳。它随机选择初始质心，这可能导致算法收敛到局部最优解，而不是全局最优解。 ##### 1.2 随机交换（RS）算法 随机交换（RS）算法是一种改进的 K-means 算法，它通过多次迭代和随机交换质心的方式，试图找到全局最优解。具体步骤如下： 1. 随机初始化 K 个质心。 2. 进行多次 K-means 迭代，每次迭代后评估代价函数。 3. 如果新的质心配置降低了代价函数，则接受该配置；否则，恢复之前的质心和数据划分。 理论和实验表明，RS 算法能够找到全局最优解。此外，还有一种并行版本的 RS 算法，它通过增加每次交换迭代中的 K-means 迭代次数，并对最后检测到的解进行彻底的 K-means 迭代，提高了执行效率和解决方案的准确性。 ##### 1.3 密度峰值聚类（Density Peaks Clustering，DP） 密度峰值聚类是一种更通用的聚类方法，它基于两个基本直观假设： 1. 质心的密度必须高于其相邻点的密度。 2. 质心与其他密度更高的点的距离必须相对较大。 DP 算法依赖于每个数据点的两个量：ρi（rho）和 δi（delta）。ρi 估计点的局部密度，δi 测量到密度更高的点的最小距离。此外，还有一个辅助量 γi = ρi * δi，用于帮助识别质心。质心通常具有较高的 rho 和 delta 值。 DP 算法的具体步骤如下： 1. 计算每个点的 rho 和 delta 值。 2. 绘制决策图，其中点以 delta 与 rho 绘制。具有高 rho 和 delta 值的点是质心候选点。 3. 确定质心后，通过递归传播大兄弟（具有更高密度的点）的标签来完成聚类。 不同的 DP 实现方法在文献中被提出。基本的 DP 方法假设一个截止核（距离）dc，即 D 维空间中围绕每个点的超球的半径。所有落在超球内的点都是邻居，并定义该点的局部密度。作为“经验法则”，DP 建议选择 dc 的值，使得点的邻域平均大小介于 1%N 和 2%N 之间。 Sieranoja 和 Franti 开发了一种基于 k 近邻（k-Nearest Neighbors，kNN）方法的快速搜索和发现密度峰值的方法。该方法首先假设一个邻域大小（质量）的 k 值，然后逐步构建 kNN 加权图，其中每个节点与其 k 近邻相连，每条边持有两个连接点的距离。从 kNN 图中推断出 rho 和 delta（以及 gamma）属性，最后按照标准的 DP 程序完成聚类。 #### 2. DPKM 算法介绍 DPKM 是一种改进的 K-means 算法，它在质心初始化阶段利用了密度峰值的概念。与其他利用密度概念的初始化方法（如 ROBIN 和 DK-means++）不同，DPKM 采用了基于 kNN 方法的改进版本，通过假设一个 k 值来系统地预测用于确定点密度的 dc 值。 ##### 2.1 截止距离预测（Cutoff Prediction） DPKM 算法的第一步是预测截止距离 dc。具体步骤如下： 1. 从数据集中随机抽取大小为 SS 的样本点。对于不是非常大的数据集，SS 可以等于 N。 2. 对于每个样本点 p，计算 p 到数据集中所有其他点的距离，并根据 kNN 方法保留前 k 个唯一的最低距离。 3. 计算 p 到 k 近邻的平均距离，将其定义为点 p 的局部截止距离 dc。 4. 对所有采样点的局部 dc 值按升序排序，并取中位数作为预测的 dc 值。 取中位数是一种稳健的方法，可以过滤掉异常值的影响。确定数据集的 dc 值的成本约为 O(SS * N + SS * log SS)，其中主要成本接近 O(N^2)，可以通过并行计算来平滑。 以下是 cutoff_prediction() 方法的伪代码： ```plaintext // 随机抽取 SS 个点组成样本 sample = randomly select SS points from dataset // 在样本数组上构建流 sStream = build stream on sample array // 对样本点进行转换 sStream.map(s -> { // 计算 s 到剩余点的所有距离 distances = compute distances between s and remaining points // 保留前 k 个唯一的最低距离 dkNN = retain first distinct k distances in ranked way // 计算 dkNN 的平均值 local_dc = average value in dkNN return s with local_dc }) // 对样本数组进行堆排序 sort sample array by heap-sort // 提取中位数 median_dc = extract median from sorted sample array ``` 在这个伪代码中，通过 Java 流的 map 操作对样本点进行转换，计算每个样本点的局部 dc 值。最后，对样本数组进行排序并提取中位数。通过设置 PARALLEL 参数，可以并行处理样本点，提高计算效率。 ##### 2.2 密度计算（Density