多项式层级及超越的实例压缩

### 多项式层级及超越的实例压缩 在计算复杂性理论中，实例压缩是一个重要的研究领域，它对于理解问题的复杂性和可解性具有关键意义。本文将深入探讨多项式层级（Polynomial Hierarchy）及相关问题的实例压缩，包括参数化问题的归约、不同层级问题的压缩性质，以及与PSPACE和交互式证明系统的联系。 #### 1. 参数化问题与归约 参数化问题是一类将问题实例与一个参数相关联的问题。在这些问题中，我们关注的是在参数的影响下问题的复杂性。 - **QBCSAT的完备性**：QBCSAT是PSPACE中参数化问题类关于W - 归约的完备参数化问题。对于参数化问题$L_R \in PSPACE$，存在多项式时间可计算关系$R$，使得$\langle x, 1^n \rangle \in L_R$等价于一系列交替的存在和全称量词约束下$R(x, \langle u_1, \ldots, u_i \rangle) = 1$。由于任何多项式时间可计算关系都有均匀多项式大小的电路，我们可以将$L_R$归约到QBCSAT，且参数长度保持不变。 - **参数化问题的可解性**：目前定义的所有参数化问题实际上都是固定参数可处理的，例如QBCSAT可以通过暴力枚举在时间$O(2^n poly(m))$内求解。 #### 2. 多项式层级的实例压缩 多项式层级是计算复杂性理论中的一个重要概念，它由一系列复杂度类$\Sigma_i^P$和$\Pi_i^P$组成。我们主要关注电路可满足性问题（CIRCUITSAT）及其在多项式层级中的扩展。 ##### 2.1 第二层的实例压缩 - **定理2**：如果CIRCUITSAT在NP内是非均匀可压缩的，那么$\Sigma_2$CIRCUITSAT在NP内也是非均匀可压缩的。 - **证明思路**：对于$\Sigma_2$CIRCUITSAT实例$C$，定义一个新的参数化问题$L'$，它是CoNP中的问题，且可以多项式时间归约到CIRCUIT - UNSAT。如果CIRCUITSAT可压缩，那么CIRCUIT - UNSAT也可在CoNP内压缩。通过一系列的归约和压缩操作，我们可以将$\Sigma_2$CIRCUITSAT问题归约到CIRCUITSAT问题，且见证大小不会有超多项式的增长。最后，利用CIRCUITSAT的可压缩性假设，将问题实例压缩到一个NP中的参数化问题实例。 下面是这个过程的流程图： ```mermaid graph TD; A[Σ2CIRCUITSAT实例C] --> B[定义新问题L']; B --> C[归约到CIRCUIT - UNSAT实例C']; C --> D[压缩C'到C''']; D --> E[构造新电路C1]; E --> F[压缩C1到C2]; ``` ##### 2.2 更高层级的实例压缩 - **定理3**：如果CIRCUITSAT在NP内是非均匀可压缩的，那么对于所有$i > 1$，$\Sigma_i$CIRCUITSAT在NP内也是非均匀可压缩的。 - **证明思路**：使用数学归纳法。基础情况$i = 2$由定理2直接得出。假设对于所有$i \leq k$，$\Sigma_i$CIRCUITSAT在NP内是非均匀可压缩的，我们要证明对于$i = k + 1$也成立。通过固定$\Sigma_{k + 1}$CIRCUITSAT实例的第一个变量，我们可以将问题归约到$\Sigma_k$CIRCUITSAT实例，再利用归纳假设将其归约到CIRCUITSAT实例，最后进行压缩。 - **推论1**：如果CIRCUITSAT在NP内可压缩，那么对于所有$i \geq 1$，$\Pi_i$CIRCUITSAT在NP内也是非均匀可压缩的。因为$\Pi_i$CIRCUITSAT可以W - 归约到