实函数在社交网络中心性分析中的应用

# 实函数在社交网络中心性分析中的应用 ## 1. 实函数与社交网络中心性的优势 在社交网络分析领域，将实函数应用于中心性研究具有显著优势。中心性是静态社交网络中被广泛研究且重要的主题，存在多种中心性度量方法，包括 Katz 中心性、特征向量中心性、HITS 中心性、度中心性、接近中心性和中介中心性等。这些中心性度量都能直接转化为函数，进而应用于动态社交网络。 从静态社交网络过渡到动态社交网络时，上述中心性概念无需重新定义，静态图中关于中心性的直觉也能迁移到动态图中。此外，处理函数的数学工具可用于分析社交网络。还有一种关于动态社交网络中心性的研究侧重于 PageRank，利用时间信息改进中心性度量。 ## 2. 相关定义 ### 2.1 图数函数与演化社交网络 在图论中，存在许多以图为输入并将其转化为实数的函数，称为图数函数，形式上表示为 \(F : G → R\)，其中 \(F\) 为任意函数。例如，节点 \(v_i\) 的度 \(d_{v_i}\) 以及图的直径都是这样的函数。 假设演化社交网络定义为 \(\gamma : T → G\)，则可以将函数 \(\gamma\) 和 \(F\) 进行复合。 **定义 1：实函数 \(F_{\gamma}\)** 设 \(F : G → R\) 是图数函数，\(\gamma : T → G\) 是演化社交网络，那么函数 \(F_{\gamma} : R → R\) 是一个实函数，定义为 \(F_{\gamma}(t) = F(\gamma(t))\)。 其函数关系可用以下 mermaid 流程图表示： ```mermaid graph LR classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px; classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px; A(T ⊂ R):::process -->|γ| B(G):::process B -->|F| C(R):::process A -->|F◦γ| C ``` ### 2.2 归一化函数与相关性 由于两个单调函数之间的相关性总是正的，因此不建议使用相关性来比较时钟或任何单调函数。这里引入实函数和 M - 图来解决这个问题。M - 图函数的相关性更适合分析社交网络，因为它能消除函数上的任何线性效应，揭示隐藏的非线性结构。 首先将归一化时钟的定义扩展到一般归一化函数。已知两个用于定义归一化时钟的函数： \(\nu_s(t) = \tau_e t - \tau_b (t - 1)\) \(\nu_m(t) = \frac{\mu_b - t}{\mu_b - \mu_e}\) **定义 2：归一化函数 \(N_R\)** 设 \(R : [\tau_b, \tau_e] → R\) 是一个函数，其归一化函数 \(N_R : [0, 1] → R\) 定义为 \(N_R(t) = \nu_m(R(\nu_s(t)))\)。 其函数关系可用以下 mermaid 流程图表示： ```mermaid graph LR classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px; classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px; A([τb, τe]):::process -->|νs| B(R):::process B -->|R| C(R):::process C -->|νm| D([0, 1]):::process A -->|NR| D ``` **定义 3：归一化实演化社交网络函数 \(N_{F_{\gamma}}\)** 设 \(F : G → R\) 是图数函数，\(\gamma : T → G\) 是演化社交网络，那么函数 \(N_{F_{\gamma}} : [0, 1] → R\) 是归一化实演化社交网络函数，定义为 \(N_{F_{\gamma}}(t) = \nu_m(F(\gamma(\nu_s(t))))\)。 其函数关系可用以下 mermaid 流程图表示： ```mermaid graph LR classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px; classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px; A([τb, τe]):::process -->|γ| B(G):::process B -->|F| C(R):::process A -->|νs| D(R):::process D -->|F(γ(νs(t)))| C C -->|νm| E([0, 1]):::process A -->|NFγ| E ``` ### 2.3 M - 图与 M - 相关性 **定义 4：实函数 \(R\) 的 \(M_R\) 函数** 设 \(R : [\tau_b, \tau_e] → R\) 是一个实函数，其 \(M_R\) 函数 \(M_R : [0, 1] → R\) 定义为 \(M_R(t) = N_R(t) - t\)。 由于 \(F(\gamma)\) 是实函数，因此可以研究 \(M_{F(\gamma)}\)。使用 \(M_{F(\gamma)}\) 函数的优势在于消除了线性效应，其相关性在叙事背景下能更好地捕捉信息。 **定义 5：M - 相关性** 设 \(F_i : [\tau_{b_i}, \tau_{e_i}] → R\) 是两个实函数（\(i = 1, 2\)），则 M - 相关性定义为 \(\rho_M(F_1, F_2) = \rho(M_{F_1}, M_{F_2})\)。 在很多情况下，M - 相关性函数比普通相关性更能捕捉叙事信息，它允许出现负值和正值。 ## 3. 度中心性示例 ### 3.1 度函数与度中心性函数的定义 度中心性是一个重要且通用的中心性度量，这里将时间因素纳入度和度