编程中的逻辑证明与启发式方法

### 编程中的逻辑证明与启发式方法 在编程和数学领域，逻辑证明和程序设计是两个至关重要的方面。逻辑证明帮助我们确保程序的正确性，而程序设计则是将问题解决方案转化为代码的过程。下面我们将深入探讨逻辑证明中的一些规则和形式化与非形式化数学的哲学观点，以及一些编程启发式方法。 #### 逻辑证明规则 逻辑证明中有许多重要的规则和等式，以下是一些常见的逻辑等式： - \(p \vee ( q \equiv r) = (p \vee q) \equiv ( p \vee r)\) - \(p \vee (p \wedge q) = p\) - \(p \wedge (p \vee q) = p\) - \(p \vee (p \not\equiv q) = p \vee q\) - \(p \wedge (p \equiv q) = p \wedge q\) - \(p \vee (\neg p \wedge q) = p \vee q\) - \(p \wedge ( \neg p \vee q) = p \wedge q\) - \((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r) \Rightarrow (p \Rightarrow r)\) 以第一个吸收规则 \(p \vee (p \wedge q) = p\) 的证明为例： ```plaintext p v (p ∧ q) { true is unit element of conjunction } (p ∧ true) V (p ∧ q) { distribution } p ∧ (true V q) p ∧ true p ``` 由于蕴含关系具有传递性，我们可以按照以下形式进行证明： ```plaintext p => { hint why p => q } q => { hint why q => r } r ``` 以此来证明 \(p \Rightarrow r\)。我们还可以混合使用蕴含关系和等价关系。例如，证明 \((p \Rightarrow q) \Rightarrow (p \vee r \Rightarrow q \vee r)\)： ```plaintext p => q { definition of implication } ¬p V q => { weakening } ¬p V q V r { complement rule } ( ¬p ∧ ¬r) V q V r = { De Morgan's rule } ¬(p V r) V q V r { definition of implication } p V r => q V r ``` #### 形式化与非形式化数学的哲学观点 在数学领域，存在两种主要的哲学观点：柏拉图主义和形式主义。 ##### 柏拉图主义 柏拉图主义认为数学对象是客观存在的，数学家的工作只是发现关于这些对象的数学真理。这些真理独立于人类而存在，无论我们是否发现它们，它们都一直存在并且将永远存在。例如，E. Everett 在葛底斯堡的演讲中提到：“在纯数学中，我们思考的是绝对真理，这些真理在晨星一同歌唱之前就存在于神的意识中，并且当它们中最后一颗灿烂的星星从天堂坠落时，这些真理仍将继续存在于那里。” ##### 形式主义 形式主义则认为数学是人类创造的。数学的定义和从一个公式推导到另一个公式的规则是研究的主题。在形式主义中，“真理”这个词并不重要，重要的是“可证明性”。也就是说，存在一个明确的程序，通过初始给定的公式和一组固定的推理规则来获得某个公式，这就是我们通常所说的证明。不同的理论可能有不同的规则集合，用一组规则可以证明的内容，在另一组规则中可能无法证明。D. Hilbert 曾说：“数学只不过是根据某些简单规则在纸上用无意义的符号进行的游戏。” 这两种观点各有其支持者，虽然很难明确判断哪种观点更正确，但它们都对数学和编程的发展产生了影响。 #### 编程启发式方法 在编程中，我们常常需要设计高效的程序来解决问题。以下是一些编程启发式方法，这些方法可以帮助我们设计出更好的程序。 ##### 省略合取项 当后置条件是多个项的合取时，一种可能的方法是选取部分合取项作为不变式，其余合取项的否定作为循环条件。 **示例 1：求不超过 \(\sqrt{N}\) 的最大整数** 给定自然数 \(N\)，要给变量 \(a\) 赋值，使其满足 \(R : a \geq 0 \wedge a^2 \leq N \wedge N < (a + 1)^2\)。 删除 \(R\) 的最后一个合取项，得到可能的不变式 \(P : a \geq 0 \wedge a^2 \leq N\)，对应的程序框架如下： ```plaintext { N >= 0 } SO; {inv : P } *[ (a + 1)^2 <= N -> S ] { R } ``` 由于只有变量 \(a\)，且 \(a\) 的初始值最可能为 0，所以 \(a\) 需要递增。我们选择 \(N - a^2\) 作为边界函数（也可以选择 \(N - a\)）。最简单的递增方式是每次将 \(a\) 增加 1，得到以下程序： ```plaintext { N >= 0 } a := 0; { inv : P } *[ (a + 1)^2 <= N -> a := a + 1 ] { R } ```