量子信息理论中的逻辑门与算法

### 量子信息理论中的逻辑门与算法 #### 1. 量子逻辑门基础 在量子信息理论里，为了实现全局幺正变换，需要让两个或更多的量子比特相互作用，受控非门（cnot）就是两比特系统中的一种基本全局幺正变换。 ##### 1.1 受控非门（cnot） 受控非门 $U_{cnot}$ 是一个线性算子，它对积基向量的作用规则如下： \[ U_{cnot} : \begin{cases} |00\rangle \to |00\rangle \\ |01\rangle \to |01\rangle \\ |10\rangle \to |11\rangle \\ |11\rangle \to |10\rangle \end{cases} \] 在基 $\{|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle\}$ 下，该算子对应的矩阵为： \[ U_{cnot} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1_2 & 0_2 \\ 0_2 & \sigma_1 \end{pmatrix} \] 若 $U_{cnot}$ 应用两次，会恢复到输入状态，即 $U_{cnot}^2 = 1_4$。 经典的 cnot - 门在第一个比特为 1 时会切换第二个比特，否则保持不变。这里的符号 $\oplus$ 表示模 2 整数加法，规则如下： - $0 \oplus 0 = 0$ - $0 \oplus 1 = 1$ - $1 \oplus 0 = 1$ - $1 \oplus 1 = 0$ 操作 $a, b \to a \oplus b$ 是经典的异或门（xor - gate），异或门不可逆，不能直接在两比特希尔伯特空间中作为幺正算子实现。所以，经典的 cnot - 门会记录第一个比特以及异或操作的结果。 ##### 1.2 受控幺正变换 量子 cnot - 门的直接推广是受控幺正变换，它对积基状态的作用定义为： \[ |ab\rangle \to |a\rangle \otimes U_a |b\rangle, \quad a, b \in \{0, 1\} \] 当 $U = \sigma_1$ 时，就得到了 cnot - 门。 #### 2. 量子逻辑门序列 任意 $n$ 比特希尔伯特空间中的幺正变换都可以由单比特变换和两比特 cnot 变换组合而成。 ##### 2.1 受控 $\sqrt{not}$ 门 以受控 $\sqrt{not}$ 门为例，它可以分解为一系列单比特操作和 cnot 门。其布线图中的幺正算子如下： - $U_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix} $ - $U_2 = U(\frac{\pi}{2} e_z) U(-\frac{\pi}{4} e_y)$ - $U_3 = U(\frac{\pi}{4} e_y)$ - $U_4 = U(-\frac{\pi}{2} e_z)$ 这里的 $U(\vec{\alpha})$ 是旋转矩阵。 ##### 2.2 托佛利门（toffoli - gate） 托佛利门作用于三个比特，在经典信息理论中的定义为： \[ (a, b, c) \to (a, b, ab \oplus c) \] 只有当第一和第二个比特（控制比特）都为 1 时，最后一个比特（目标比特）才会取反。 托佛利门很重要，因为它能以可逆的方式实现多个基本逻辑操作，例如： - 当 $c = 0$ 时，$(a, b, 0) \to (a, b, ab)$，实现与门。 - 当 $b = c = 1$ 时，$(1, 1, c) \to (1, 1, 1 \oplus c)$，实现非门。 - 当 $a = 1$ 时，$(1, b, c) \to (1, b, b \oplus c)$，实现异或门。 - 当 $b = 1, c = 0$ 时，$(a, 1, 0) \to (a, 1, a)$，实现扇出门。 托佛利门可以由两比特 cnot 门和单比特变换构建而成。 #### 3. 不可能的门：无克隆定理 虽然 cnot 门有 $U_{cnot}(|a\rangle \otimes |0\rangle) = |a\rangle \otimes |a\rangle$（$a = 0, 1$）这样的复制特性，但对于叠加态 $|\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle$ 却无法实现复制。例如，$U_{cnot}(U_h|0\rangle \otimes |0\rangle) = \psi^+_e \neq U_h|0\rangle \otimes U_h|0\rangle$。 无克隆定理表明：不存在一个幺正变换能将 $|\psi\rangle \otimes |0\rangle$ 映射为 $|\psi\rangle \otimes |\psi\rangle$ 对所有的 $\psi$ 都成立。 证明过程如下：假设存在一个幺正算子 $U$ 使得 $U |\psi\ran