磁共振技术中的态转移哈密顿量

### 磁共振技术中的态转移哈密顿量 在量子态转移（QST）的研究中，磁共振技术为其提供了重要的实验手段。我们将探讨利用磁共振技术实现态转移的相关内容，包括不同体系中的自旋链传输、特定晶体系统的应用以及不同哈密顿量在态转移中的作用。 #### 固态核磁共振中的自旋链 在复杂的多体自旋系统中，自旋扩散是一种常见的传输现象。在固体中，由自然存在的偶极哈密顿量驱动的扩散行为源于反平行自旋对的能量守恒翻转，其动力学类似于随机游走。自旋扩散在动态核极化中是关键步骤，然而三维中偶极哈密顿量驱动的磁化传输与非相干过程难以区分，极化会衰减到热力学平衡，因此不能直接用于QST。 不过，在一维有限系统中，动力学可能不同，准平衡态可能出现。例如在苯分子的质子环中，通过与\(^{13}C\)核的交叉极化将极化转移到一个质子自旋上，最终将演化后的极化强度映射到\(^{13}C\)上进行检测。由于苯分子溶解在液晶基质中，自旋通过偶极哈密顿量相互作用，实现了（不完善的）极化转移，呈现出极化振荡，与导致极化衰减的自旋扩散行为形成对比。 尽管全偶极哈密顿量下的传输比弹道传输慢且具有色散性，不适合直接用于QST，但固态核磁共振是QST的良好实验平台，因为多脉冲序列可以设计出所需的传输哈密顿量。接下来我们将介绍磷灰石晶体这一物理系统在固态核磁共振QST探索中的应用。 #### 用于基于核磁共振QST的磷灰石晶体 磷灰石晶体的核自旋系统因其独特的几何结构，成为研究准一维自旋动力学（包括传输和退相干）的丰富实验平台。 磷灰石晶体具有六边形几何结构，空间群为\(P63/m\)。其主要成分包括氯磷灰石、碳酸化磷灰石（羟基磷灰石和氟磷灰石）。后两者因分别含有氟\(^{19}F\)核自旋（氟磷灰石）或质子\(^{1}H\)（羟基磷灰石）而在核磁共振研究中被广泛关注。 氟磷灰石晶体可以自然获取，也可以通过合成方法生长，如丘克拉斯基法和熔剂法。磷灰石有多种应用，从固态激光到荧光灯，从磷化学到地质探测，钙磷灰石还在生物学中用于骨替代和骨假体涂层。 氟磷灰石的晶胞参数为\(a = b = 9.367 Å\)，\(c = 6.884 Å\)，\(\alpha = \beta = 90^{\circ}\)，\(\gamma = 120^{\circ}\)。\(^{19}F\)核沿\(c\)轴形成线性链，链内和链间的\(^{19}F\)核距离不同，由于偶极耦合与距离的\(1/r^3\)相关，链内和链间耦合差异大。当晶轴\(c\)与外场平行时，三维\(^{19}F\)系统可近似看作相同的一维自旋链集合。 自然存在的缺陷会使链断裂成较短的链，天然晶体杂质多，链长可能较短；合成晶体的\(T_1\)时间长，杂质浓度低，链长可能较长。 这些自旋链的动力学已通过多种核磁共振技术进行研究，该系统最初吸引了对固态系统核磁共振谱表征感兴趣的实验者和理论家。它还被用于量子信息处理平台和量子信息传输的研究。 #### 用于自旋传输的双量子哈密顿量 大多数QST的理论方案集中在XX哈密顿量作为传输的相互作用驱动，也有研究海森堡各向同性哈密顿量或具有横向场的伊辛哈密顿量。但仅通过集体旋转无法从自然存在的偶极哈密顿量\(H_{dip}\)得到这些哈密顿量。 根据平均哈密顿量理论，可通过偶极哈密顿量的旋转版本的分段常数演化得到所需的哈密顿量。为突出其旋转特性，可将两个自旋 - 1/2粒子的一般哈密顿量用球张量\(T_{l,m}\)表示： \[H = \sum_{l,m} (-1)^m A_{l,m} T_{l,m}\] 其中系数\(A_{l,m}\)取决于自旋 - 自旋相互作用类型和外场。由于集体旋转守恒每个球张量的秩\(l\)，在工程哈密顿量时有局限性。例如，\(T_{00}\)（各向同性哈密顿量）与集体旋转对易，若自然哈密顿量中不存在\(T_{00}\)，则无法在所需哈密顿量中引入；偶极哈密顿量由\(T_{20}\sqrt{6}\)给出，不能产生包含\(T_{00}\)的哈密顿量，如无法生成XX哈密顿量。 然而，可以生成双量子（DQ）哈密顿量： \[H_{DQ} = \sum_{i,j} \frac{1}{2} b_{i,j} (\sigma_{x}^i \sigma_{x}^j - \sigma_{y}^i \sigma_{y}^j) = \sum_{i,j} b_{i,j} (\sigma_{+}^i \sigma_{+}^j + \sigma_{-}^i \sigma_{-}^j)\] 它可以通过简单的序列从偶极哈密顿量制备得到，该序列由两个时间间隔组成，第二个时间间隔内哈密顿量绕\(y\)轴旋转\(\pi/2\)。对称版本的该序列常用于核磁共振实验。 XX和DQ哈密顿量虽然不同，但通过相似变换相关。在一维中，每隔一个自旋绕\(y\)轴旋转\(\pi\)可将\(H_{XX}\)转换为\(H_{DQ}\)。这使得可以基于\(H_{XX}\)的已知本征值结构推导\(H_{DQ}\)的动力学，并且在热平衡链中，初始状态和所需观测值不受该变换影响，从而为通过固态核磁共振技术研究QST提供了可能。 以下是球张量的表格： | 球张量 | 表达式 | | --- | --- | | \(T_{00}\) | \((\sigma_{a}^x \sigma_{b}^x + \sigma_{a}^y \sigma_{b}^y + \sigma_{a}^z \sigma_{b}^z) / \sqrt{3}\) | | \(T_{a}^{10}\) | \(\sigma_{a}^z / 2\) | | \(T_{b}^{10}\) | \(\sigma_{b}^z / 2\) | | \(T_{a}^{11}\) | \(\sigma_{a}^+ / \sqrt{2}\) | | \(T_{a}^