统计中的精度、准确性与集中趋势指标

# 统计中的精度、准确性与集中趋势指标 ## 1. 软件与R包准备 在开始统计分析前，需要下载并安装基础R和R Studio。本章所需的R包为`tidyverse`，可从以下链接下载： - `tidyverse`：[http://tidyverse.tidyverse.org](http://tidyverse.tidyverse.org) 示例数据集`MMstat.csv`以及本章的脚本`Chapter 6. Precision.R`和额外的补充文件`Sampledistribution.csv`，可从以下链接下载： [https://github.com/mmlondon77/Biobook.git](https://github.com/mmlondon77/Biobook.git) ## 2. 精度的概念 在统计学中，精度指的是随机样本的点估计值（如样本均值）与真实（未知）总体的点估计值（总体均值）的接近程度。由于无法测量世界上每个人的某些变量（如身高、年龄等），所以通常会抽取随机样本。从总体（N）中抽取随机样本（n）时，样本n的均值是总体N真实均值的最佳猜测，但n只是N的近似，永远不会完全相同。 在抽样过程中，不可避免地会存在误差，这个误差被称为均值的标准误差（Standard Error of the Mean，简称SEM或SE）。随着样本量的增加，精度也会提高，这在理论上与中心极限定理类似。例如，示例数据集中的`Age`变量可代表样本n，它是未知总体年龄N的最佳猜测。 ## 3. 样本量与精度的关系 ### 3.1 模拟抽样实验 为了展示样本量与精度的关系，我们回到正态分布。以下是模拟过程： 1. 生成一个均值为90、标准差为5的正态分布： ```R x <- rnorm(10000, mean=90, sd=5) ``` 2. 抽取样本量为10的随机样本，并计算40个这样的样本的均值，构建`sample10`对象： ```R sample10<-c(90.6, 89, 89, 89.7, 91.5, 89.4, 86.9, 89.2, 89.7, 91.8, 88.7, 88.2, 87.11, 91.2, 91.2, 87.6, 88.9, 91.3, 88.7, 90.4, 89, 90.6, 90, 91.9, 89.3, 91.3, 89.6, 89, 88.1, 89.5, 91.8, 89.7, 88.4, 87.8, 90.1, 89.6, 89.6, 90.7, 89.6, 90.7) ``` `sample10`的总体均值为89.6，标准差为1.3。 3. 抽取样本量为1000的随机样本，计算24个这样的样本的均值，构建`sample1000`对象： ```R sample1000<-c(89.9, 90, 90.2, 90.1, 89.7, 89.8, 90, 89.9, 89.7, 89.8, 90.1, 89.8, 90, 90, 89.9, 90, 90, 90, 89.8, 89.9, 89.8, 89.9, 89.6) ``` `sample1000`的总体均值为89.9，标准差为0.1。 ### 3.2 可视化样本分布 通过绘制直方图和密度曲线来直观展示样本的分布情况： ```R truehist(sample10, ylim=c(0, 3)) lines(density(sample10)) truehist(sample1000, ylim=c(0,3), xlim=c(85, 93)) lines(density(sample1000)) ``` 从图中可以明显看出，较大样本`sample1000`的变异性明显小于较小样本`sample10`，且两个分布的均值相近。这清晰地表明了样本量越大，越接近真实总体，同时也凸显了可视化分布的重要性。 ### 3.3 使用ggplot2绘制密度分布图 将两个样本的所有值整理到一个长格式的`.csv`文件`Sampledistribution.csv`中，使用`ggplot2`绘制密度分布图： ```R ggplot(Sampledistribution, aes(mean, fill =Sample)) + geom_density(alpha = 0.2) ``` 这个密度分布图再次展示了两个样本分布的不同变异性，说明更多的数据意味着更小的变异性，更接近科学真理。 ## 4. 方差与标准差 ### 4.1 方差的概念 方差是衡量数据变异性的重要指标，它表示数据集中数据的分散程度。方差的计算方法是取每个数据点与均值的偏差的平方的平均值。数据的分散程度越大，方差就越大，并且方差与均值相关，它反映了数据相对于均值的分散情况。 ### 4.2 标准差的概念 标准差是从方差推导而来的，它表示每个值与均值的距离。标准差的计算很简单，就是方差的平方根。标准差和方差都反映了数据集中的变异性，但它们的单位有很大差异。 ### 4.3 方差与标准差的比较 - **单位差异**：标准差的单位与原始数据相同，例如在分析术后住院天数时，标准差的单位是“天数”；而方差的单位是原始数据单位的平方，因此方差更难直观解释。 - **信息含量**：虽然标准差更容易理解，但方差在描述变异性方面更具信息含量，因此在进行统计推断时，通常需要使用方差。 ### 4.4 计算示例 以6位在心脏手术前采用西兰花饮食方案的患者的术后住院天数为例，数据集为`7, 12, 32, 10, 9, 8`。计算过程如下： 1. 计算均值：