MATLAB编程：循环、条件语句与应用实例

### MATLAB编程：循环、条件语句与应用实例 #### 1. 递归序列与嵌套for循环 在MATLAB中，我们可以使用for循环来生成递归定义序列的值。例如，考虑序列 $x_{n + 1} = r \cdot x_n + 1$，其中 $x_0 = 3$，$n = 1, 2, \cdots, 20$，$r$ 取值为 $0.6, 0.7, 0.8, 0.9$。以下是实现该序列并绘制图形的代码： ```matlab x = zeros(4, 21); x(:, 1) = 3; r = [0.6 0.7 0.8 0.9]; for i = 1:4 for j = 1:20 x(i, j + 1) = r(i) * x(i, j) + 1; end end figure hold on plot(0:20, x(1, :), 0:20, x(2, :), 0:20, x(3, :), 0:20, x(4, :)) xlabel('n') ylabel('x n') legend('r=0.6', 'r=0.7', 'r=0.8', 'r=0.9') hold off ``` 从图形中可以看出，改变参数 $r$ 会使 $x_{20}$ 的值在大约 $2.5$ 到 $9$ 之间变化。使用 `x(:, end)` 命令可以查看最后一列的精确值，范围从 $2.5$ 到 $9.1490$。 #### 2. While循环 for循环适用于已知迭代次数的情况，但当迭代次数未知时，我们可以使用while循环。while循环会不断执行特定代码段，直到某个条件满足为止。其一般形式如下： ```matlab while logical expression statements ... end ``` 逻辑表达式是一个布尔值（真或假），只要逻辑表达式为真，循环内的语句就会执行。如果逻辑表达式为假，MATLAB会跳过循环内的语句，继续执行 `end` 语句之后的代码。 例如，计算 $\sum_{n = 1}^{100} \frac{1}{n^2}$ 可以使用for循环和while循环实现： ```matlab % for循环 s = 0; for i = 1:100 s = s + 1/i^2; end s % while循环 s = 0; i = 1; while i <= 100 s = s + 1/i^2; i = i + 1; end s ``` while循环还可以用于在满足收敛条件时停止程序。例如，累加项直到第 $i$ 项小于某个容差（这里是 $10^{-3}$）： ```matlab s = 0; tol = 1e-3; i = 1; while 1/i^2 > tol s = s + 1/i^2; i = i + 1; end i s ``` 我们还可以对代码进行向量化，存储每次迭代的部分和： ```matlab partialSum = 0; tol = 1e-3; i = 1; while 1/i^2 > tol partialSum(i + 1) = partialSum(i) + 1/i^2; i = i + 1; end partialSum' ``` 运行代码后，我们可以找到任意 $N$（从 $1$ 到 $100$）对应的 $\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n^2}$ 的值。例如，`partialSum(50)` 应该返回 $\sum_{n = 1}^{50} \frac{1}{n^2}$ 的值。 #### 3. 停止MATLAB脚本 当MATLAB完成脚本运行时，命令窗口的下一行会显示 `>>`。如果等待时间过长，可以在命令窗口中点击并使用 “Ctrl + C” 停止脚本运行。如果程序似乎无法结束，可能是陷入了无限循环，这在初学者使用while循环时很常见。例如： ```matlab x = 2; while x == 2 y = x + 1; end ``` 在这个例子中，只要 $x$ 等于 $2$，while循环就会一直执行。但循环内的语句只修改了 $y$，而没有改变 $x$，因此 $x$ 始终为 $2$，循环会一直运行下去（直到程序崩溃）。 #### 4. 代码注释 随着代码变得越来越复杂，注释变得越来越重要。即使是简单的代码，注释也有助于回忆程序的意图，特别是在编写脚本文件一段时间后再查看时。例如，实现除法算法的MATLAB脚本： ```matlab % This script computes the quotient and remainder when a is divided by d. % The quotient (q) and remainder (r) are output a = 20; % a is the initial number d = 6; % d is the divisor r = a; % initilize r to a q = 0; % the quotient q is the number of times that d is subtracted from r while r >= d % loop until r is less than d r = r - d; % subtract d from r q = q + 1; % add 1 to q end q % output q r % output r ``` 代码开头的注释描述了代码的功能和输出值。在第3行和第4行，注释解释了变量 $r$ 和 $a$ 的作用。使用注释至少描述初始化变量的目的是个好习惯，也可以用注释解释任何代码行。 #### 5. 条件语句 条件语句（if - then语句）用于仅在满足某个条件时运行代码段。在MATLAB中，基本的if - then语句形式如下： ```matlab if logical expression statements ... end ``` 只有当逻辑表达式为真时，语句集才会执行。 如果希望在逻辑表达式为假时执行不同的操作，可以使用if - else语句： ```matlab if logical expression statements A else statements B end ``` 如果逻辑表达式为真，则执行语句集A；如果逻辑表达式为假，则执行语句集B。例如： ```matlab if 2 == 3 disp('the statement is true') else disp('the statement is false') end ``` 运行上述代码会显示 `the statement is false`，因为 $2$ 不等于 $3$。 当有多个可能性时，可以使用多重if - else语句： ```matlab if logical expression 1 statements A elseif logical expression 2 statements B elseif logical expression 3 statements C else statements D end ``` 在这个例子中，如果逻辑表达式1为真，则执行语句集A；否则，如果逻辑表达式2为真，则执行语句集B；如果逻辑表达式1和2都为假，且逻辑表达式3为真，则执行语句集C；如果所有逻辑表达式都为假，则执行语句集D。注意，只有一组语句A、B、C或D会被执行，最后一个else语句不是必需的。 还可以使用 `break` 或 `return` 命令在不满足条件时退出条件语句、for循环或while循环。例如，检查1到10的数字是否能被2、3或5整除： ```matlab n = 10; for i = 1:n if rem(i, 2) == 0 disp([num2str(i), ' is divisible by 2']) elseif rem(i, 3) == 0 disp([num2str(i), ' is divisible by 3']) elseif rem(i, 5) == 0 disp([num2str(i), ' is divisible by 5']) else break end end ``` #### 6. Switch语句 当有许多条件需要判断，并且希望代码更易读时，可以使用switch语句。其形式如下： ```matlab switch variable case case A statements A case case B statements B case {case C1, case C2, ...} statements C otherwise statements D end ``` 任何case都可以包含变量的多个值。如果没有case表达式与变量的值匹配，控制将传递给 `otherwise` 情况（如果存在）。 #### 7. MATLAB命令总结 | MATLAB命令 | 功能 | | --- | --- | | `x = some number` | 将一个数字赋值给变量 $x$ | | `x = start:increment:end` | 将一个数字向量赋值给变量 $x$，第一个值为 `start`，后续值通过 `increment` 递增，数组在达到 `end` 值时结束 | | `A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]` | 将矩阵 $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$ 赋值给变量 $A$ | | `R = [1 2 3]` | 将行向量 $[1 2 3]$ 赋值给变量 $R$ | | `C = [1; 4; 7]` | 将列向量 $\begin{bmatrix}1 \\ 4 \\ 7\end{bmatrix}$ 赋值给变量 $C$ | | `A(n, m)` | 输出矩阵 $A$ 的第 $n$ 行第 $m$ 列元素 | | `A(n, :)` | 输出矩阵 $A$ 的第 $n$ 行 | | `A(:, m)` | 输出矩阵 $A$ 的第 $m$ 列 | | `size(A)` | 输出矩阵 $A$ 的大小，形式为 `[列数 行数]` | | `A'` | 计算矩阵 $A$ 的转置 | | `x * y` | 计算 $x$ 和 $y$ 的乘积 | | `x .* y` | 计算 $x$ 和 $y$ 的元素级乘积 | | `sqrt(x)` | 计算 $\sqrt{x}$ | | `x^n` | 计算 $x^n$ | | `log(x), log10(x)` | 分别计算 $\ln x$ 和 $\log_{10} x$ | | `abs(x)` | 计算 $|x|$ | | `exp(x)` | 计算 $e^x$ | | `sin(x), cos(x), tan(x)` | 计算 $\sin(x)$、$\cos(x)$ 和 $\tan(x)$ | | `asin(x), acos(x), atan(x)` | 计算 $\arcsin(x)$、$\arccos(x)$ 和 $\arctan(x)$ | | `floor(x)` | 计算不大于 $x$ 的最大整数 | | `ceil(x)` | 计算不小于 $x$ 的最小整数 | | `round(x)` | 将 $x$ 四舍五入到最接近的整数 | | `vpa(fraction)` | 将分数转换为十进制近似值 | | `rref(A)` | 将矩阵 $A$ 化为行最简阶梯形（执行高斯消元法） | | `inv(A)` | 计算矩阵 $A$ 的逆 | | `figure(n)` | 打开第 $n$ 个图形窗口（用于处理多个图形） | | `hold on` | 执行该行后，后续的绘图命令将添加到当前图形中（而不是从头创建新图形） | | `;` | 在行末添加分号以抑制输出到命令行（用于加快代码运行速度） | | `ezplot('cos(x)')` | 使用默认窗口绘制 $\cos(x)$ | | `ezplot('cos(x)', [xmin, xmax])` | 在区间 $x_{min} \leq x \leq x_{max}$ 上绘制 $\cos(x)$ | | `ezplot('cos(x)', [xmin, xmax, ymin, ymax])` | 在区间 $x_{min} \leq x \leq x_{max}$，$y_{min} \leq y \leq y_{max}$ 上绘制 $\cos(x)$ | | `plot(x, y)` | 绘制向量 $y$ 相对于 $x$ 的图形 | | `x < y` | 测试逻辑表达式 $x < y$（为真返回 $1$，为假返回 $0$） | | `x <= y` | 测试逻辑表达式 $x \leq y$（为真返回 $1$，为假返回 $0$） | | `x == y` | 测试逻辑表达式 $x = y$（为真返回 $1$，为假返回 $0$） | | `x ~= y` | 测试逻辑表达式 $x \neq y$（为真返回 $1$，为假返回 $0$） | | `format long` | 以15位小数显示数字 | | `format short` | 以4位小数显示数字 | #### 8. 练习 以下是一些MATLAB编程练习，帮助巩固所学知识： 1. 使用 `linspace` 生成一个包含120个等间距数字的行向量，范围在 $(2, 5)$ 内。 2. 使用 `linspace` 生成一个范围在 $[-1, 3]$ 内，间距为 $0.1$ 的行向量，然后使用 `a:inc:b` 命令重复该过程。 3. 使用 `plot` 绘制函数 $f(x) = 3\cos(2x + 3)e^{-5x}$ 在区间 $[0, 3]$ 内的图形，包括 $x$ 轴，并标记坐标轴。 4. 重复问题3，但使用 `ezplot` 代替 `plot`。 5. 假设一个物体受到 $100$ 牛顿的力，并位移了 $3$ 米。使用MATLAB计算当力和位移向量之间的夹角 $\theta = [0, 15, 30, 45, 60, 75]$ 度时，物体所做的功 $W = Fd\cos\theta$，并使用选择的绘图符号绘制功与角度的关系图。 6. 自由悬挂在两根电线杆之间的电力线呈悬链线形状。假设顶点处 $x = 0$，电力线的曲线方程为 $f(x) = 2(e^{x/4} + e^{-x/4})$。使用 `plot` 或 `ezplot` 在区间 $[-4, 4]$ 内绘制该曲线。 7. 假设觅食者在给定区域的资源获取率由函数 $g(t) = \frac{\ln(t + 0.5)}{t}$ 给出，其中 $t$ 是在该区域觅食的时间。在MATLAB中绘制 $g(t)$ 并估计使 $g(t)$ 最大化的 $t$ 值，这对觅食者意味着什么？ 8. 设 $f(x) = 3e^{-0.1x^2}$，$g(x) = -2\cos(x/2)$。使用 `plot` 在同一坐标轴上绘制函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，$x$ 取值范围为 $0 \leq x \leq 6$，并完成以下操作： - 标记坐标轴为 $x$ 和 $y$。 - 设置 $y$ 值范围为 $-3 \leq y \leq 4$。 - 使 $f(x)$ 和 $g(x)$ 为不同颜色。 - 包括黑色的 $x$ 轴。 - 包含图例以指示每个函数。 9. 重复问题8，但使用 `ezplot` 代替 `plot`。 10. 使用 `plot` 绘制分段定义函数 $f(x) = \begin{cases}2x + 1, & 0 \leq x < 1 \\ 3/x, & 1 \leq x \leq 4\end{cases}$ 在区间 $0 \leq x \leq 4$ 内的图形。 11. 使用 `plot` 绘制分段定义函数 $f(x) = \begin{cases}-x/2, & -1 \leq x < 0 \\ e^{3x}, & 0 \leq x \leq 1\end{cases}$ 在区间 $-1 \leq x \leq 1$ 内的图形，使用开放和封闭圆圈在图形上指示函数。 12. 编写一个MATLAB文件，使用 $\sum_{i = 1}^{n} x^2\Delta x$ （其中 $\Delta x = \frac{1}{n}$）近似计算积分 $\int_{0}^{1} x^2dx$，比较 $n = 10$、$n = 100$ 和 $n = 1000$ 时的误差。 13. 编写一个MATLAB文件，计算 $\sum_{n = 1}^{10} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$。 14. 编写一个MATLAB文件，使用while循环计算任意非负整数 $n$ 的阶乘 $n!$。 15. 欧几里得算法用于求 $a$ 和 $b$ 的最大公约数。将以下伪代码转换为MATLAB代码，该代码接受参数 $A$ 和 $B$ 并输出它们的最大公约数： ```matlab a := A b := B r := B while b ~= 0 r := a mod b a := b b := r end while gcd := a output gcd ``` 16. 编写一个MATLAB文件，找出前 $n$ 个斐波那契数。 17. 编写一个程序，输出给定正整数的所有约数。 18. 使用嵌套for循环编写一个程序，求两个矩阵 $A$ 和 $B$ 的和。在相加之前，使用条件语句确保矩阵的维度兼容，如果不兼容则返回错误信息。 19. 不使用 `isprime()` 函数，编写一个MATLAB文件，判断一个数字 $x$ 是否为质数。通过将 $x$ 除以小于 $\sqrt{x}$ 的所有整数并检查余数来实现，代码应在命令窗口输出该数字是否为质数的文本信息。 20. 回忆微积分II中，调和级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散到无穷大。编写MATLAB代码计算 $N = 10$、$N = 100$、$N = 1000$ 和 $N = 10000$ 时的 $\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n}$，确定 $N$ 必须多大才能满足 $\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n} \geq 15$。 21. 已知 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$。编写MATLAB代码计算 $N = 10$、$N = 100$、$N = 1000$ 和 $N = 10000$ 时的 $\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n^2}$，将每个结果与 $\frac{\pi^2}{6}$ 进行比较，确定 $N$ 必须多大才能使误差满足 $\left|\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n^2} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\right| < 10^{-6}$。 22. 假设序列 $\{a_i\}_{i = 1}^{\infty}$ 定义如下：$a_1 = 1$，$a_2 = 3$，$a_k = a_{k - 2} + 2a_{k - 1}$（$k \geq 3$）。编写一个MATLAB文件生成该序列，并找出 $a_{20}$。 23. 考虑火箭的速度由以下分段函数给出： $v(t) = \begin{cases}11t^2 - 5t, & 0 \leq t \leq 10 \\ 1100 - 5t, & 10 < t \leq 20 \\ 50t + 2(t - 20)^2, & 20 < t \leq 30 \\ 1520e^{-0.2(t - 30)}, & t > 30 \\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}$ 开发一个使用条件语句的m文件，计算 $v$ 作为 $t$ 的函数，并生成 $v$ 与 $t$ 在区间 $[-5, 50]$ 内的关系图。 24. 考虑递归定义的序列 $x_0 = 3$，$x_{n + 1} = \sqrt{1 + x_n}$。编写一个for循环计算 $n = 1, 2, \cdots, 30$ 时的 $x_n$。在脚本开头输入 `format long` 以增加显示的小数位数。 - 写出前三个步骤计算的精确数字，然后给出 $x_{30}$。该序列是否似乎收敛到一个数字，如果是，是哪个数字？ - 手动计算 $x = \sqrt{1 + x}$ 的解，并与 (a) 中的答案进行比较。 - 修改MATLAB代码，生成序列 $x_n$ 的值，直到 “误差” $|x_n - \varphi|$ 小于 $10^{-4}$，其中 $\varphi$ 是 (b) 中找到的答案。 25. 编写一个MATLAB文件，计算前1000个质数之间的间隔大小。例如，前几个质数是 $2, 3, 5, 7, 11$，因此前几个间隔是 $1, 2, 2, 4$。然后使用 `hist()` 生成这些1000个数字的直方图，并对分布形状进行评论。 26. 在研究火箭推进时，需要考虑火箭燃烧燃料时整体质量的变化。由于动量守恒，整体动量保持不变，这意味着火箭的加速度不是恒定的。 - 设初始动量 $p_i = mv$，其中 $m$ 是火箭和燃料的总质量，$v$ 是火箭的速度。假设发动机以恒定速率燃烧，在小时间间隔 $dt$ 内，质量减少 $dm_g$，速度为 $-u$（负号表示与火箭运动方向相反）。废气相对于地球的速度为 $v - u$。设 $dv$ 是时间间隔 $dt$ 内的速度变化。最终动量 $p_f = p_{rocket} + p_{gas} = (m - dm_g)(v + dv) + dm_g(v - u)$。 - 令 $p_f = p_i$，证明 $m \cdot dv = dm_g \cdot dv + dm_g \cdot u$。 - 证明 $dv = \frac{dm_g u}{m - dm_g}$。 - 假设航天器在无重力空间中沿直线运动。推进器开启，燃料以 $2.0 \times 10^2$ kg/s 的速率喷射，速度（相对于火箭）为 $2.5 \times 10^2$ m/s。航天器和未燃烧燃料的初始质量为 $2.0 \times 10^4$ kg，推进器开启30秒。求推力（喷射燃料对火箭施加的力）和加速度 $a(t)$，编写MATLAB代码估计30秒内的速度，使用 $\Delta t = 1$。 - 在 $m \cdot dv = dm_g \cdot dv + dm_g \cdot u$ 中，由于 $dm_g \cdot dv$ 是两个小量的乘积，可以忽略不计。证明这导致 $dv = u \frac{dm}{m}$。 - 对 $dv = u \frac{dm}{m}$ 在一段时间内进行积分：$\int_{t_0}^{t_f} dv = -u \int_{t_0}^{t_f} \frac{1}{m} dm$，得到 $dv = u \ln(\frac{m_i}{m})$。这是火箭方程，由苏联物理学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基于1897年首次提出。使用火箭方程解决 (c) 中的问题，并与 (d) 中的答案进行比较。 通过这些练习，可以进一步掌握MATLAB的编程技巧，提高解决实际问题的能力。不断实践和探索，你将在MATLAB编程领域取得更大的进步。 ### MATLAB编程：循环、条件语句与应用实例 #### 9. 部分练习的详细解答与分析 ##### 9.1 积分近似计算（练习12） 编写一个MATLAB文件，使用 $\sum_{i = 1}^{n} x^2\Delta x$ （其中 $\Delta x = \frac{1}{n}$）近似计算积分 $\int_{0}^{1} x^2dx$，比较 $n = 10$、$n = 100$ 和 $n = 1000$ 时的误差。 ```matlab % 精确值 exact_value = 1/3; % n = 10 n1 = 10; dx1 = 1/n1; x1 = 0:dx1:1; sum1 = sum(x1(1:end - 1).^2) * dx1; error1 = abs(sum1 - exact_value); % n = 100 n2 = 100; dx2 = 1/n2; x2 = 0:dx2:1; sum2 = sum(x2(1:end - 1).^2) * dx2; error2 = abs(sum2 - exact_value); % n = 1000 n3 = 1000; dx3 = 1/n3; x3 = 0:dx3:1; sum3 = sum(x3(1:end - 1).^2) * dx3; error3 = abs(sum3 - exact_value); fprintf('n = 10时，近似值: %.6f，误差: %.6f\n', sum1, error1); fprintf('n = 100时，近似值: %.6f，误差: %.6f\n', sum2, error2); fprintf('n = 1000时，近似值: %.6f，误差: %.6f\n', sum3, error3); ``` 从代码中可以看出，随着 $n$ 的增大，$\Delta x$ 变小，近似值越来越接近精确值，误差也越来越小。这体现了数值积分中，细分区间可以提高近似精度的原理。 ##### 9.2 调和级数计算（练习20） 回忆微积分II中，调和级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散到无穷大。编写MATLAB代码计算 $N = 10$、$N = 100$、$N = 1000$ 和 $N = 10000$ 时的 $\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n}$，确定 $N$ 必须多大才能满足 $\sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{n} \geq 15$。 ```matlab % 计算不同N时的调和级数和 N_values = [10, 100, 1000, 10000]; for i = 1:length(N_values) N = N_values(i); sum_harmonic = sum(1./(1:N)); fprintf('N = %d时，调和级数和: %.6f\n', N, sum_harmonic); end % 确定满足和大于等于15的N N = 1; sum_harmonic = 0; while sum_harmonic < 15 sum_harmonic = sum_harmonic + 1/N; N = N + 1; end fprintf('满足调和级数和大于等于15的最小N: %d\n', N - 1); ``` 通过代码可以直观地看到调和级数的和随着 $N$ 的增大而增大，并且可以找到满足条件的最小 $N$。这也验证了调和级数的发散性质。 #### 10. 火箭推进问题的详细分析（练习26） ##### 10.1 动量守恒推导 已知初始动量 $p_i = mv$，最终动量 $p_f = (m - dm_g)(v + dv) + dm_g(v - u)$。令 $p_f = p_i$，则： \[ \begin{align*} mv&=(m - dm_g)(v + dv) + dm_g(v - u)\\ mv&=mv + m\cdot dv - dm_g\cdot v - dm_g\cdot dv + dm_g\cdot v - dm_g\cdot u\\ m\cdot dv&=dm_g\cdot dv + dm_g\cdot u \end{align*} \] ##### 10.2 加速度推导 由 $m\cdot dv = dm_g\cdot dv + dm_g\cdot u$，因为 $dm_g\cdot dv$ 相对较小可忽略，得到 $m\cdot dv = dm_g\cdot u$，则 $dv = \frac{dm_g u}{m}$。又因为 $dm_g$ 是质量的减少量，设质量变化率为 $\frac{dm}{dt}$，在小时间间隔 $dt$ 内，$dm_g = -\frac{dm}{dt}dt$，所以 $dv = \frac{-\frac{dm}{dt}dt\cdot u}{m}$，加速度 $a=\frac{dv}{dt}=-\frac{u}{m}\frac{dm}{dt}$。 ##### 10.3 MATLAB代码实现 ```matlab % 初始参数 m0 = 2.0e4; % 初始质量 u = 2.5e2; % 燃料喷射速度 dmdt = -2.0e2; % 质量变化率 dt = 1; % 时间间隔 t_total = 30; % 总时间 % 初始化变量 t = 0:dt:t_total; m = m0 + dmdt * t; v = zeros(size(t)); % 数值计算速度 for i = 2:length(t) dv = (dmdt * dt * u) / m(i - 1); v(i) = v(i - 1) + dv; end % 计算推力 thrust = abs(dmdt * u); % 绘制速度-时间图 figure; plot(t, v); xlabel('时间 (s)'); ylabel('速度 (m/s)'); title('火箭速度随时间变化'); fprintf('推力: %.2f N\n', thrust); ``` ##### 10.4 火箭方程求解 对 $dv = u \frac{dm}{m}$ 积分得到 $v - v_0 = u \ln(\frac{m_0}{m})$，在本题中 $v_0 = 0$，则 $v = u \ln(\frac{m_0}{m})$。 ```matlab % 火箭方程计算速度 v_rocket_eq = u * log(m0./m); % 比较两种方法的结果 figure; plot(t, v, 'b', t, v_rocket_eq, 'r--'); xlabel('时间 (s)'); ylabel('速度 (m/s)'); title('数值计算与火箭方程计算速度比较'); legend('数值计算', '火箭方程计算'); ``` 通过代码可以看到，数值计算和火箭方程计算的速度结果基本一致。这说明在忽略 $dm_g\cdot dv$ 的情况下，火箭方程可以很好地描述火箭的速度变化。 #### 11. 流程图总结 ```mermaid graph TD; A[开始] --> B[选择编程任务]; B --> C{是否为循环问题}; C -- 是 --> D[选择for或while循环]; D --> E[编写循环代码]; E --> F[检查循环条件和终止条件]; F --> G[运行代码并调试]; C -- 否 --> H{是否为条件判断问题}; H -- 是 --> I[选择if-else或switch语句]; I --> J[编写条件判断代码]; J --> K[检查逻辑表达式]; K --> G; H -- 否 --> L[根据任务选择合适的MATLAB命令]; L --> M[编写代码]; M --> G; G --> N[分析结果并优化代码]; N --> O[完成任务]; ``` #### 12. 总结 本文详细介绍了MATLAB中的循环语句（for循环和while循环）、条件语句（if - then、if - else、多重if - else和switch语句），并通过大量的代码示例和练习展示了它们的应用。同时，对一些复杂的实际问题，如数值积分、调和级数计算和火箭推进问题进行了深入分析和代码实现。通过这些内容，读者可以更深入地理解MATLAB编程的基本原理和技巧，提高解决实际问题的能力。在实际编程中，要根据具体问题选择合适的循环和条件语句，同时注意代码的注释和调试，以确保代码的正确性和可读性。不断练习和实践，才能在MATLAB编程领域取得更大的进步。 总之，MATLAB是一个功能强大的编程工具，掌握其基本的编程语句和应用方法，可以为科学研究、工程计算等领域提供有力的支持。希望本文的内容能对读者有所帮助，激发大家进一步探索MATLAB编程的兴趣。