基于逻辑的论证系统的形式化分析

### 基于逻辑的论证系统的形式化分析 在逻辑论证系统中，我们需要处理从知识库中构建论证、论证之间的攻击关系以及不同的可接受性语义等问题。下面将详细介绍相关概念和分析。 #### 基本定义 - **最小冲突**：设 $\Sigma$ 为知识库，$C \subseteq \Sigma$ 是最小冲突，当且仅当： - $C$ 是不一致的； - 对于任意 $x \in C$，$C \setminus \{x\}$ 是一致的。 - **冲突依赖**：设 $Arg(\Sigma)$ 是从 $\Sigma$ 构建的论证集合，$R \subseteq Arg(\Sigma) \times Arg(\Sigma)$。$R$ 是冲突依赖的，当且仅当对于任意 $a, b \in Arg(\Sigma)$，若 $(a, b) \in R$，则存在最小冲突 $C \in C_{\Sigma}$ 使得 $C \subseteq Supp(a) \cup Supp(b)$。 - **冲突敏感**：$R$ 是冲突敏感的，当且仅当对于任意 $a, b \in Arg(\Sigma)$，若存在最小冲突 $C \in C_{\Sigma}$ 且 $C \subseteq Supp(a) \cup Supp(b)$，则要么 $(a, b) \in R$，要么 $(b, a) \in R$。 #### 论证系统 一个基于知识库 $\Sigma$ 的论证系统是一个对 $(Arg(\Sigma), R)$，其中 $R \subseteq Arg(\Sigma) \times Arg(\Sigma)$ 是一个有效的攻击关系。 #### 可接受性语义 不同的可接受性语义用于确定哪些论证是可接受的。设 $B$ 是无冲突的论证集合： - **可允许扩展**：$B$ 是可允许扩展，当且仅当 $B$ 能防御其所有元素。 - **优先扩展**：$B$ 是优先扩展，当且仅当它是最大（对于集合包含关系）的可允许扩展。 - **稳定扩展**：$B$ 是稳定扩展，当且仅当它是优先扩展，并且攻击 $Arg(\Sigma) \setminus B$ 中的任何论证。 #### 可接受性语义与知识库的关系 当攻击关系是冲突依赖且冲突敏感时，从 $\Sigma$ 的最大一致子库可以构建一个唯一的最大（对于集合包含关系）无冲突论证集合。 - **命题 1**：设 $\Sigma$ 是知识库，$(S_i)_{i \in I}$ 是其最大一致子集。如果 $R$ 是冲突依赖且冲突敏感的，则： - 对于所有 $i \in I$，$Arg(S_i)$ 是 $Arg(\Sigma)$ 的最大（对于集合 $\subseteq$）无冲突子集。 - 对于所有 $i, j \in I$，如果 $Arg(S_i) = Arg(S_j)$，则 $S_i = S_j$。 - 对于所有 $i \in I$，$S_i = Base(Arg(S_i))$。 - **命题 2**：设 $(Arg(\Sigma), R)$ 是基于 $\Sigma$ 的论证系统，$(E_i)_{i \in I}$ 是 $Arg(\Sigma)$ 的最大（对于集合 $\subseteq$）无冲突子集。如果 $R$ 是冲突依赖且有效的，则： - 对于所有 $i \in I$，$Base(E_i)$ 是 $\Sigma$ 的最大（对于集合 $\subseteq$）一致子库。 - 对于所有 $i, j \in I$，如果 $Base(E_i) = Base(E_j)$，则 $E_i = E_j$。 - 对于所有 $i \in I$，$E_i = Arg(Base(E_i))$。 #### 稳定语义 稳定语义的思想是，一个论证集合是“可接受的”，如果它攻击集合外的任何论证。然而，稳定扩展的存在性并非对每个论证系统都有