镶嵌中的迭代指数构造与双曲几何探索

### 镶嵌中的迭代指数构造与双曲几何探索 #### 1. 镶嵌中的瓷砖连接规则 在镶嵌的构造中，瓷砖的连接有着特定的规则。例如，瓷砖 43 的左边是瓷砖 42，下方是瓷砖 25。瓷砖 29 的右边连接情况取决于计算完成的情况：当 \(w_j\) 的计算完成时，需要垂直红线，此时瓷砖 29 连接瓷砖 30；当 \(\omega_k\) 的计算完成时，需要垂直灰线，瓷砖 29 连接瓷砖 63。同样，瓷砖 54 的右边连接情况取决于紫红色线与黄色线的距离：当紫红色线与黄色线的距离至少为 2 时，需要瓷砖 67；当距离为 1 时，需要瓷砖 68。 #### 2. 双曲几何概述 双曲几何在 19 世纪上半叶出现，它是长期尝试从欧几里得《几何原本》的其他公理证明著名的平行公理的结果。如今我们知道，平行公理与其他公理是相互独立的，双曲几何的发现也引出了公理理论中独立性的概念。19 世纪下半叶，人们设计出了几种满足双曲几何公理的模型，其中庞加莱模型非常受欢迎。庞加莱模型有两种，一种使用欧几里得平面中的半平面，另一种使用欧几里得平面中的圆盘。在需要参考模型进行说明时，通常使用庞加莱圆盘模型。 #### 3. 庞加莱圆盘模型 固定欧几里得平面中的一个开圆盘 \(U\)，其点构成双曲平面 \(\mathbb{H}^2\) 的点。圆盘 \(U\) 的边界 \(\partial U\) 称为无穷远点集。双曲平面中的线是 \(U\) 中直径的轨迹，或者是与 \(\partial U\) 正交的圆在 \(U\) 中的轨迹。该模型有一个显著的性质，即双曲直线之间的角度等于相应圆之间的欧几里得角度，并且该模型很容易推广到更高维度。 在庞加莱圆盘模型的图示中，过点 \(A\) 有两条直线 \(p\) 和 \(q\) 与直线 \(l\) 平行，它们分别与 \(l\) 有一个无穷远的公共点 \(P\) 和 \(Q\)。过点 \(A\) 的直线 \(s\) 与直线 \(l\) 相交，是 \(l\) 的割线；而过点 \(A\) 的直线 \(m\) 与直线 \(l\) 既不在 \(U\) 内相交，也不在无穷远点相交，这样的直线称为与 \(l\) 非割线。两条非割线有一个共同的且唯一的垂线。 #### 4. 双曲平面的镶嵌：{7,3} 镶嵌 镶嵌是一种特殊的铺砌方式，在欧几里得平面中，最多有三种基于正方形、等边三角形和正六边形的镶嵌（在同构和相似的意义下）。而在双曲平面中，有无限多种镶嵌，它们基于具有 \(p\) 条边和顶点角为 \(2\pi/q\) 的正多边形，用 \(\{p,q\}\) 表示。这是庞加莱一个著名定理的结果，该定理指出，任何顶点角为 \(\frac{\pi}{p}\)、\(\frac{\pi}{q}\)、\(\frac{\pi}{r}\) 且满足 \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<1\) 的三角形都可以通过递归反射过程来镶嵌双曲平面。 这里选择 \(\{7,3\}\) 镶嵌，称为七边形网格。七边形网格的许多性质可以通过分裂方法来研究，该方法在图示中可以看到，通过中点线将镶嵌划分为多个扇形区域。具体来说，镶嵌可以围绕一个中心瓷砖分裂成七个扇形区域，每个扇形区域内部又可以进一步分裂。这种分裂过程会产生一个与扇形区域瓷砖一一对应的树，称为斐波那契树，其生成规则为 \(W \to BWW\) 和 \(B \to BW\)，其中 \(W\) 对应扇形区域的瓷砖，\(B\) 对应分裂后剩余区域 \(S\) 的瓷砖。 在斐波那契树中，距离根节点为 \(n\) 的节点数量为 \(f_{2n + 1}\)，其中 \(f_k\) 是斐波那契数列的第 \(k\) 项，斐波那契数列可以通过以下归纳公式计算： \[ \begin{cases} f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_n \\ f_0 = f_1 = 1, \quad n \in \mathbb{N} \end{cases} \] 也可以通过以下公式计算： \[ f_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n + \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n, \quad n \in \mathbb{N} \] 从归纳公式可以看出，\(f_n\) 对于任何 \(n \in \mathbb{N}\) 都是正数，并且是关于 \(n\) 的递增函数。由于 \(f_n\) 是关于 \(n\) 的指数函数，那么 \(f_{f_n}\) 具有双指数增长。为了得到 \(f_{f_n}\)，只需要一个深度至少为 \(f_n\) 的树。 #### 5. 生成 {7,3} 镶嵌扇形区域的瓷砖 为了实现扇形区域的镶嵌，考虑从斐波那契树得到的瓷砖。通过对瓷砖边进行编号，并将每个边的编号与共享该边的另一个瓷砖上对应边的编号关联起来，得到了用于黑色节点的两个瓷砖和用于白色节点的三个瓷砖。 在这些瓷砖中，并不是所有的 \([1…7]\) 编号对都会出现。如果将编号对 \((a,b)\) 与 \((b,a)\) 视为相同，会得到六个编号对：13、14、15、26、27、37。为了消除一些编号对的歧义，给它们分配颜色：白色节点中，41 对应 \(W\)，51 对应 \(G\)；62 对应 \(P\)，72 对应 \(Q\)，73 对应 \(R\)。同时，给黑色节点分配 \(B\) 和 \(BW\)，黑色节点的边 1 根据其父节点是否为黑色节点分别分配 \(B\) 或 \(BW\)，黑色节点中的 51 对应 \(WB\)。这样就得到了八种颜色，并且这些颜色与瓷砖的对应关系由相关图示给出。 这些颜色可以帮助恢复每个瓷砖的编号。黑色节点至少有一条边出现 \(B\)，白色节点至少有一条边出现 \(G\)。在黑色节点中，模式 \(BWP\) 唯一对应编号 4、5 和 6；在白色节点中，模式 \(BWWG\) 唯一对应编号 3、4 和 5。 为了表示瓷砖在树中的层级，在某些边的颜色标记下添加一个笔画，称为层级标记