无限脉冲响应（IIR）滤波器：从逆z变换到二阶滤波器的全面解析

# 无限脉冲响应（IIR）滤波器：从逆z变换到二阶滤波器的全面解析 ## 1. 逆z变换及其应用 ### 1.1 一阶系统阶跃响应回顾 对于系统函数为 \(H(z) = \frac{b_0 + b_1z^{-1}}{1 - a_1z^{-1}}\) 的一阶系统，求其对输入 \(x[n]\) 的输出 \(y[n]\) 可采用z变换方法，步骤如下： 1. 确定输入信号 \(x[n]\) 的z变换 \(X(z)\)。 2. 将 \(X(z)\) 与 \(H(z)\) 相乘得到 \(Y(z)\)。 3. 确定 \(Y(z)\) 的逆z变换得到输出 \(y[n]\)。 当输入 \(x[n] = u[n]\) 时，其z变换 \(X(z) = \frac{1}{1 - z^{-1}}\)，则 \(Y(z) = \frac{b_0 + b_1z^{-1}}{(1 - a_1z^{-1})(1 - z^{-1})}\)。由于 \(Y(z)\) 与常见z变换对表中的形式不同，需进行部分分式展开： \(Y(z) = \frac{A}{1 - a_1z^{-1}} + \frac{B}{1 - z^{-1}}\) 通过在极点处求值可确定 \(A\) 和 \(B\)： \(A = Y(z)(1 - a_1z^{-1})\big|_{z = a_1} = \frac{b_0 + b_1a_1^{-1}}{1 - a_1^{-1}}\) \(B = Y(z)(1 - z^{-1})\big|_{z = 1} = \frac{b_0 + b_1}{1 - a_1}\) 最终得到 \(y[n] = \left(\frac{b_0 + b_1a_1^{-1}}{1 - a_1^{-1}}\right)a_1^n u[n] + \left(\frac{b_0 + b_1}{1 - a_1}\right)u[n]\)。 ### 1.2 逆z变换的一般步骤 对于分母次数为 \(N\)、分子次数为 \(M\)（\(M < N\)）的有理z变换 \(X(z)\)，求其对应序列 \(x[n]\) 的步骤如下： 1. 对 \(X(z)\) 的分母多项式进行因式分解，将极点因子表示为 \((1 - p_kz^{-1})\)，其中 \(k = 1, 2, \cdots, N\)。 2. 对 \(X(z)\) 进行部分分式展开，得到 \(X(z) = \sum_{k = 1}^{N} \frac{A_k}{1 - p_kz^{-1}}\)，其中 \(A_k = X(z)(1 - p_kz^{-1})\big|_{z = p_k}\)。 3. 写出逆变换 \(x[n] = \sum_{k = 1}^{N} A_k(p_k)^n u[n]\)。 ### 1.3 示例分析 - **示例1：逆z变换** 已知 \(X(z) = \frac{1 - 2.1z^{-1}}{1 - 0.3z^{-1} - 0.4z^{-2}} = \frac{1 - 2.1z^{-1}}{(1 + 0.5z^{-1})(1 - 0.8z^{-1})}\)，经部分分式展开得 \(X(z) = \frac{2}{1 + 0.5z^{-1}} - \frac{1}{1 - 0.8z^{-1}}\)，则 \(x[n] = 2(-0.5)^n u[n] - (0.8)^n u[n]\)。 - **示例2：长除法与部分分式** 对于 \(Y(z) = \frac{2 - 2.4z^{-1} - 0.4z^{-2}}{1 - 0.3z^{-1} - 0.4z^{-2}} = \frac{2 - 2.4z^{-1} - 0.4z^{-2}}{(1 + 0.5z^{-1})(1 - 0.8z^{-1})}\)，通过长除法将其表示为 \(Y(z) = \frac{1 - 2.1z^{-1}}{(1 + 0.5z^{-1})(1 - 0.8z^{-1})} + 1\)，再进行部分分式展开，最终得到 \(y[n] = 2(-0.5)^n u[n] - (0.8)^n u[n] + \delta[n]\)。 ### 1.4 重要z变换性质和对总结 | \(x[n]\) | \(z\) 变换 \(X(z)\) | | --- | --- | | \(ax_1[n] + bx_2[n]\) | \(aX_1(z) + bX_2(z)\) | | \(x[n - n_0]\) | \(z^{-n_0}X(z)\) | | \(y[n] = x[n] * h[n]\) | \(Y(z) = H(z)X(z)\) | | \(\delta[n]\) | \(1\) | | \(\delta[n - n_0]\) | \(z^{-n_0}\) | | \(a^n u[n]\) | \(\frac{1}{1 - az^{-1}}\) | ### 1.5 逆z变换流程 ```mermaid graph LR A[输入有理z变换X(z)] --> B[分解分母多项式] B --> C[部分分式展开] C --> D[确定系数Ak] D --> E[写出逆变换x[n]] ``` ## 2. 稳态响应与稳定性 ### 2.1 一阶LTI系统分析 对于一阶LTI系统 \(y[n] = a_1y[n - 1] + b_0x[n]\)，其脉冲响应 \(h[n] = b_0a_1^n u[n]\)，系统函数 \(H(z) = \frac{b_0}{1 - a_1z^{-1}}\)，频率响应 \(H(e^{j\hat{\omega}}) = \frac{b_0}{1 - a