几何对象检测：椭圆与广义圆的应用

# 几何对象检测：椭圆与广义圆的应用 ## 1. 椭圆的表示与最佳代表 在几何对象检测中，椭圆是一个重要的研究对象。我们可以将椭圆 $E(C, a, b, \vartheta)$ 表示为 $M$ - 圆 $M(C, \Sigma)$，其方程为 $d_m(x, C; \Sigma) = 1$，其中 $\Sigma$ 是对称正定矩阵。将此方程乘以 $r^2 := \sqrt{\det \Sigma}$，$M$ - 圆的方程变为 $d_M(x, C; \Sigma) = r^2$，这里 $d_M$ 是归一化的马氏距离类函数。 椭圆 $E(C, \xi, \eta, \vartheta)$ 可以参数化定义为： \[ E(C, \xi, \eta, \vartheta) = \left\{(\xi(\tau), y(\tau)) = (p, q) + (\xi \cos \tau, \eta \sin \tau)Q(-\vartheta) : \tau \in [0, \pi]\right\} \] 其中 $Q(\vartheta) = \begin{bmatrix} \cos \vartheta & -\sin \vartheta \\ \sin \vartheta & \cos \vartheta \end{bmatrix}$ 是相应的旋转矩阵。这个椭圆也可以表示为 $M$ - 圆 $E(C, r, \Sigma) = \{u \in \mathbb{R}^2 : d_M(C, u; \Sigma) = r^2\}$，且 $r^2 = \sqrt{\det \Sigma} = \xi \eta$。 反之，通过特征值分解，$M$ - 圆 $E(C, r, \Sigma)$ 可以转换为椭圆 $E(C, \xi, \eta, \vartheta)$，其中 $\text{diag}(\xi^2, \eta^2) = Q(\vartheta) \left(\frac{r^2}{\sqrt{\det \Sigma}} \Sigma\right) Q(\vartheta)^T$，角度 $\vartheta$ 由下式给出： \[ \vartheta = \frac{1}{2} \arctan \frac{2\alpha_2}{\alpha_1 - \alpha_3} \in \begin{cases} [0, \pi/4), & \alpha_2 \geq 0 \text{ 且 } \alpha_1 > \alpha_3 \\ [\pi/4, \pi/2), & \alpha_2 > 0 \text{ 且 } \alpha_1 \leq \alpha_3 \\ [\pi/2, 3\pi/4), & \alpha_2 \leq 0 \text{ 且 } \alpha_1 < \alpha_3 \\ [3\pi/4, \pi), & \alpha_2 < 0 \text{ 且 } \alpha_1 \geq \alpha_3 \end{cases} \] ## 2. 最佳代表的求解 集合 $A$ 的最佳代表是 $M$ - 圆 $E(C, r, \Sigma)$，其参数 $p, q, r, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是以下全局优化问题（GOP）的解： \[ \arg\min_{(p,q) \in \Omega, r \in [0,R], \Sigma \in M_2} \sum_{i = 1}^{m} D(a_i, E((p, q), r; \Sigma)) \] 其中 $R = \frac{1}{2} \max\{b - a, d - c\}$，$M_2$ 是 $2 \times 2$ 正定对称矩阵的集合，$D$ 是距离类函数，通常有以下三种定义方式： - $D_1(a_i, E((p, q), r; \Sigma)) = \left|\|a_i - (p, q)\|_{\Sigma} - r\right|$ - $D_2(a_i, E((p, q), r; \Sigma)) = (\|a_i - (p, q)\|_{\Sigma} - r)^2$ - $D_A(a_i, E((p, q), r; \Sigma)) = (\|a_i - (p, q)\|_{\Sigma}^2 - r^2)^2$ 当使用距离 $D_1$ 时，称圆是根据最小绝对偏差（LAD）原则得到的；使用 $D_2$ 时，是根据总体最小二乘（TLS）原则；使用 $D_A$ 时，是根据代数准则。 为了解决上述 GOP 问题，我们可以使用全局优化算法 DIRECT，也可以使用局部优化方法，如牛顿法、拟牛顿法、Nelder - Mead 法等。在这种情况下，我们可以确定圆中心 $\hat{C} = (\hat{p}, \hat{q})$ 和半径 $\hat{r}$ 的良好初始近似值： - 使用距离类函数 $D_A$ 时，$\hat{C}$ 可以选择为集合 $A$ 的质心，半径近似值为 $\hat{r}^2 = \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} \| \hat{C} - a_i \|_{\Sigma}^2$。 - 使用距离类函数 $D_2$ 时，$\hat{C}$ 同样选择为集合 $A$ 的质心，半径近似值为 $\hat{r} = \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} \| \hat{C} - a_i \|_{\Sigma}$。 - 使用距离 $D_1$ 时，$\hat{C}$ 选择为集合 $A$ 的质心，半径近似值为 $\hat{r} = \text{med}_{a_s \in A} \| \hat{C} - a_s \|_{\Sigma}$。 当数据包含异常值时，选择 $\hat{C}$ 为 $A$ 的中位数并应用 $D_1$ 方法通常是更好的选择。 ## 3. 点到椭圆的欧氏距离 确定点 $T$ 到椭圆 $E(C, a, b, \vartheta)$ 的欧氏距离并不像点到圆的欧氏距离那样简单。一般来说，通过旋转和平移，这个问题可以转化为求点 $T' = (T - C)Q(-\vartheta)$ 到椭圆 $E'(O, a, b, 0)$（方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$）的距离。 设 $P' = (\xi, \eta)$ 是点 $T' = (x_1, y_1)$ 到椭圆 $E'$ 的正交投影，由于过 $T'$ 和 $P'$ 的直线垂直于椭圆