C++中复数的处理与应用

### C++ 中复数的处理与应用 #### 1. 复数概述 复数由实部和虚部组成，虚部的平方为负数，虚部的因子 $i$ 是 -1 的平方根。C++ 标准库提供了类模板 `complex<>` 来操作复数。C++98 几乎规定了 `complex<>` 类的所有特性，C++11 仅进行了一些修复和增强： - 新增了以复数为参数的操作，如 `proj()`、`asin()`、`acos()`、`atan()`、`asinh()`、`acosh()`、`atanh()`。 - 可以使用 `real(val)` 和 `imag(val)` 直接设置实部和虚部。 #### 2. `complex<>` 类的一般情况 `complex<>` 类在头文件 `<complex>` 中声明： ```cpp #include <complex> namespace std { template <typename T> class complex; } ``` 模板参数 `T` 用作复数实部和虚部的标量类型。此外，C++ 标准库为 `float`、`double` 和 `long double` 提供了三种特化： ```cpp namespace std { template<> class complex<float>; template<> class complex<double>; template<> class complex<long double>; } ``` 这些特化允许进行某些优化和更安全的复数类型转换。 #### 3. `complex<>` 类的使用示例 以下是一个使用 `complex<>` 类创建复数、打印不同表示形式并执行常见操作的示例程序： ```cpp // num/complex1.cpp #include <iostream> #include <complex> using namespace std; int main() { // 具有实部和虚部的复数 // - 实部: 4.0 // - 虚部: 3.0 complex<double> c1(4.0,3.0); // 从极坐标创建复数 // - 模: 5.0 // - 相角: 0.75 complex<float> c2(polar(5.0,0.75)); // 打印具有实部和虚部的复数 cout << "c1: " << c1 << endl; cout << "c2: " << c2 << endl; // 以极坐标形式打印复数 cout << "c1: magnitude: " << abs(c1) << " (squared magnitude: " << norm(c1) << ") " << " phase angle: " << arg(c1) << endl; cout << "c2: magnitude: " << abs(c2) << " (squared magnitude: " << norm(c2) << ") " << " phase angle: " << arg(c2) << endl; // 打印共轭复数 cout << "c1 conjugated: " << conj(c1) << endl; cout << "c2 conjugated: " << conj(c2) << endl; // 打印计算结果 cout << "4.4 + c1 * 1.8: " << 4.4 + c1 * 1.8 << endl; // 打印 c1 和 c2 的和 // - 注意: 不同类型 cout << "c1 + c2: " << c1 + complex<double>(c2.real(),c2.imag()) << endl; // 将 c1 的平方根加到 c1 并打印结果 cout << "c1 += sqrt(c1): " << (c1 += sqrt(c1)) << endl; } ``` 该程序的输出可能如下（确切输出取决于 `double` 类型的具体实现特性）： ```plaintext c1: (4,3) c2: (3.65844,3.40819) c1: magnitude: 5 (squared magnitude: 25) phase angle: 0.643501 c2: magnitude: 5 (squared magnitude: 25) phase angle: 0.75 c1 conjugated: (4,-3) c2 conjugated: (3.65844,-3.40819) 4.4 + c1 * 1.8: (11.6,5.4) c1 + c2: (7.65844,6.40819) c1 += sqrt(c1): (6.12132,3.70711) ``` 另一个示例包含一个循环，用于读取两个复数并处理第一个复数的第二个复数次幂： ```cpp // num/complex2.cpp #include <iostream> #include <complex> #include <cstdlib> #include <limits> using namespace std; int main() { complex<long double> c1, c2; while (cin.peek() != EOF) { // 读取第一个复数 cout << "complex number c1: "; cin >> c1; if (!cin) { cerr << "input error" << endl; return EXIT_FAILURE; } // 读取第二个复数 cout << "complex number c2: "; cin >> c2; if (!cin) { cerr << "input error" << endl; return EXIT_FAILURE; } if (c1 == c2) { cout << "c1 and c2 are equal !" << endl; } cout << "c1 raised to the c2: " << pow(c1,c2) << endl << endl; // 跳过行的其余部分 cin.ignore(numeric_limits<int>::max(),'\n'); } } ``` 以下是该程序的一些可能输入和输出： | c1 | c2 | Output | | --- | --- | --- | | 2 | 2 | c1 raised to c2: (4,0) | | (16) | 0.5 | c1 raised to c2: (4,0) | | (8,0) | 0.333333333 | c1 raised to c2: (2,0) | | 0.99 | (5) | c1 raised to c2: (0.95099,0) | | (0,2) | 2 | c1 raised to c2: (-4,4.89843e-16) | | (1.7,0.3) | 0 | c1 raised to c2: (1,0) | | (3,4) | (-4,3) | c1 raised to c2: (4.32424e-05,8.91396e-05) | | (1.7,0.3) | (4.3,2.8) | c1 raised to c2: (-4.17622,4.86871) | #### 4. 复数的操作 ##### 4.1 创建、复制和赋值操作 | 表达式 | 效果 | | --- | --- | | `complex c` | 创建一个实部和虚部都为 0 的复数 (0 + 0i) | | `complex c(1.3)` | 创建一个实部为 1.3，虚部为 0 的复数 (1.3 + 0i) | | `complex c(1.3,4.2)` | 创建一个实部为 1.3，虚部为 4.2 的复数 (1.3 + 4.2i) | | `complex c1(c2)` | 创建 c1 作为 c2 的副本 | | `polar(4.2)` | 从极坐标创建一个临时复数（模为 4.2，相角为 0） | | `polar(4.2,0.75)` | 从极坐标创建一个临时复数（模为 4.2，相角为 0.75） | | `conj(c)` | 创建一个 c 的共轭复数（虚部取反） | | `proj(c)` | 创建一个 c 在黎曼球面上的投影的临时复数（C++11 起） | | `c1 = c2` | 将 c2 的值赋给 c1 | | `c1 += c2` | 将 c2 的值加到 c1 | | `c1 -= c2` | 从 c1 中减去 c2 的值 | | `c1 *= c2` | 将 c1 乘以 c2 的值 | | `c1 /= c2` | 将 c1 除以 c2 的值 | 赋值运算符是修改现有复数的唯一方法。辅助函数 `polar()` 允许从极坐标创建复数，但在创建过程中存在隐式类型转换问题。例如： ```cpp std::complex<float> c2(std::polar(4.2,0.75)); // OK std::complex<float> c2 = std::polar(4.2,0.75); // ERROR ``` 辅助函数 `conj()` 用于创建另一个复数的共轭复数，`proj()` 函数（C++11 起）用于创建一个复数在黎曼球面上的投影。 ##### 4.2 隐式类型转换 `float`、`double` 和 `long double` 的特化构造函数设计为允许安全的隐式转换，如 `complex<float>` 到 `complex<double>`，但不安全的转换，如 `complex<long double>` 到 `complex<double>`，必须显式进行： ```cpp std::complex<float> cf; std::complex<double> cd; std::complex<long double> cld; std::complex<double> cd1 ```