拓扑量子物质与紧束缚模型解读

### 拓扑量子物质与紧束缚模型解读 #### 三维四分量狄拉克哈密顿量 在拓扑量子物质的研究中，三维四分量狄拉克哈密顿量是一个重要的模型。对于对称性类别AII、DIII和AII，狄拉克哈密顿量的最小分量数为四；而对于类别CI和CII，这个数字为八。这里我们主要讨论四分量的情况。 考虑如下四分量狄拉克哈密顿量： \[H(k) = \tau_x\sigma_{\mu}k_{\mu} + m\tau_z = \begin{pmatrix} m & \mathbf{k} \cdot \sigma \\ \mathbf{k} \cdot \sigma & - m \end{pmatrix}\] 其中\(\mu = x, y, z\)，\(\tau_{\mu}\)和\(\sigma_{\mu}\)是两组泡利矩阵。通过替换\(k_{\mu} \to - i\partial_{\mu}\)，可以得到其对应的实空间形式，用于计算边界模式。该哈密顿量的能谱为\(E(k) = \pm \sqrt{\mathbf{k}^2 + m^2}\) ，对应一个双重简并的带隙狄拉克锥。 为了确定哈密顿量\(H(k)\)的对称性类别，我们发现它满足以下关系： \[i\sigma_yH^*(k)(- i\sigma_y) = +H(- \mathbf{k})\] \[i\sigma(i\sigma_y)^* = - 1\] \[\tau_y\sigma_yH^*(k)\tau_y\sigma_y = - H(- \mathbf{k})\] \[\tau_y\sigma_y(\tau_y\sigma_y)^* = +1\] 这些关系分别代表了半整数自旋的时间反演对称性（\(U_t = i\sigma_y\)）和（三重态）粒子 - 空穴对称性（\(U_c = \tau_y\sigma_y\)）。由于该哈密顿量同时具有时间反演（TR）和粒子 - 空穴（PH）对称性，所以它也具有手性（子晶格）对称性，由\(\tau_y\)表示，且\(\tau_yH\tau_y = - H\)。根据单粒子哈密顿量的对称性分类，该狄拉克哈密顿量属于类别DIII，可用于描述超导体（或超流体）中准粒子的动力学。 通过幺正变换\(H \to U^{- 1}HU\)，其中\(U = \text{diag}(\sigma_0, - i\sigma_y)\)，可将狄拉克哈密顿量转化为规范形式： \[H(k) = \begin{pmatrix} m & \mathbf{k} \cdot \sigma(i\sigma_y) \\ (- i\sigma_y)\mathbf{k} \cdot \sigma & - m \end{pmatrix}\] 需要注意的是，连续模型（7.13）是描述物理系统的晶格哈密顿量的低能近似，晶格哈密顿量的对称性可能低于（7.13）的对称性。例如，晶格哈密顿量可能仅具有TR对称性，而PH对称性只是低能部分的近似对称性，此时狄拉克哈密顿量（7.13）可视为描述类别AII中的拓扑绝缘体。同样，如果晶格哈密顿量仅具有手性对称性，那么3D狄拉克哈密顿量（7.13）应被解释为描述类别AIII中的绝缘体。 该模型的拓扑性质可以通过哈密顿量（7.17）的本征函数来确定。本征函数为： \[u_{1,3}(\mathbf{k}) = \frac{1}{\sqrt{2\lambda}} \begin{pmatrix} \mp k_{\mp} (im + k_z) \\ 0 \\ \lambda \end{pmatrix}\] \[u_{2,4}(\mathbf{k}) = \frac{1}{\sqrt{2\lambda}} \begin{pmatrix} \pm (im - k_z) \\ \pm k_{+} \\ \lambda \\ 0 \end{pmatrix}\] 其中\(k_{\pm} = k_x \pm k_y\)，\(\lambda(\mathbf{k}) = \sqrt{\mathbf{k}^2 + m^2}\)。投影算符（Q矩阵）\(Q(\mathbf{k}) = 1 - 2P(\mathbf{k})\)，其中\(P(\mathbf{k}) = \sum_{i = 1}^{2} |u_i\rangle\langle u_i|\)，具有非对角形式： \[Q(\mathbf{k}) = \begin{pmatrix} 0 & q(\mathbf{k}) \\ q^{\dagger}(\mathbf{k}) & 0 \end{pmatrix}\] 其中\(q(\mathbf{k}) = \frac{1}{\lambda(\mathbf{k})}(\mathbf{k} \cdot \sigma - i m)\)。 通过计算，我们得到缠绕数\(\nu[q]\)： \[\nu[q] = \int \frac{d^3\mathbf{k}}{24\pi^2} \epsilon_{\mu\nu\rho} \text{Tr}[(q^{- 1}\partial_{\mu}q)(q^{- 1}\partial_{\nu}q)(q^{- 1}\partial_{\rho}q)] = \frac{1}{2} \frac{m}{|m|}\] 这个半整数缠绕数是连续描述中常见的现象，是由于狄拉克模型在高能下不能正确描述波函数的结构导致的。实际上，要确定拓扑不变量，需要使用晶格模型，但能隙关闭和重新打开时拓扑数的变化可以通过连续描述来计算。 #### 拓扑能带理论：紧束缚模型 连续模型是有效的低能理论，用于捕捉拓扑量子相变临界点附近的长波长物理。为了揭示固体在整个布里渊区的电子能带结构，需要对系统进行晶格描述。下面我们简要回顾几个基本的拓扑绝缘体紧束缚模型。 ##### 霍尔丹模型 霍尔丹模型是1988年提出的第一个拓扑绝缘体模型。该模型由蜂窝晶格上的无自旋费米子组成，处于非均匀（周期性）磁场中，且每个晶胞的磁通量为零。这种条件保证了晶格的完整（非磁性）平移对称性，同时破坏了时间反演对称性，而破坏时间反演对称性是产生非零霍尔电导的关键因素。 磁场不影响最近邻（n.n.）跳跃\(t_1\)，但次近邻（n.n.n.）跳跃\(t_2\)获得一个相位\(e^{\pm i\phi}\)，其中\(\phi = 2\pi(2\Phi_a + \Phi_b)/\Phi_0\)，\(\Phi_0 = h/e\)是磁通量量子。为了破坏系统的反演对称性，还引入了一个在位能项，A位点的值为\(+M\)，B位点的值为\(- M\)。 霍尔丹模型的哈密顿量可以写成： \[H = t_1 \sum_{\langle i,j\rangle} c_i^{\dagger}c_j + t_2 \sum_{\langle\langle i,j\rangle\rangle} e^{- i\nu