时间序列分析与预测：ARIMA模型及自动调参方法

### 时间序列分析与预测：ARIMA模型及自动调参方法 在时间序列分析和预测领域，ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average）模型是一类常用的统计模型，下面将详细介绍其原理、操作步骤及应用。 #### 1. ARIMA模型基础 ARIMA模型旨在通过描述数据中的自相关性来分析和预测时间序列数据，它是简单ARMA模型的扩展，额外的积分组件用于确保序列的平稳性，因为与指数平滑模型不同，ARIMA模型要求时间序列是平稳的。ARIMA模型由以下三个部分组成： - **AR（自回归）模型**：利用观测值与其p个滞后值之间的关系，在金融领域，可解释动量和均值回归效应。 - **I（积分）**：对原始时间序列进行差分（当前周期值减去上一周期值）以使其平稳，参数d表示差分的次数。 - **MA（移动平均）模型**：利用观测值与最近q个观测值中的白噪声项（冲击）之间的关系，在金融领域，可解释影响时间序列的不可预测冲击。由于MA模型中的白噪声项不可观测，因此不能使用普通最小二乘法（OLS）拟合ARIMA模型，而需使用迭代估计方法，如最大似然估计（MLE）。 这三个组件共同构成了常用的ARIMA(p,d,q)表示法。一般来说，应尽量保持ARIMA参数值尽可能小，以避免不必要的复杂性并防止过拟合，经验法则是d <= 2，p和q不超过5，且模型中AR或MA项可能会占主导地位。 #### 2. 使用ARIMA模型预测美国失业率 下面以2010 - 2019年美国月度失业率数据为例，介绍使用ARIMA模型进行预测的步骤： 1. **导入必要的库** ```python import pandas as pd import numpy as np from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA from chapter_6_utils import test_autocorrelation from sklearn.metrics import mean_absolute_percentage_error ``` 2. **创建训练集和测试集** ```python TEST_LENGTH = 12 df_train = df.iloc[:-TEST_LENGTH] df_test = df.iloc[-TEST_LENGTH:] ``` ARIMA模型非常灵活，通过适当设置超参数，可以得到一些特殊情况： | 模型表示 | 模型类型 | | ---- | ---- | | ARIMA (0,0,0) | 白噪声 | | ARIMA (0,1,0) 无常数项 | 随机游走 | | ARIMA (p,0,q) | ARMA(p, q) | | ARIMA (p,0,0) | AR(p) 模型 | | ARIMA (0,0,q) | MA(q) 模型 | | ARIMA (0,1,2) | 阻尼Holt模型 | | ARIMA (0,1,1) 无常数项 | SES模型 | | ARIMA (0,2,2) | 具有加性误差的Holt线性方法 | 3. **应用对数变换并计算一阶差分** ```python df_train["unemp_rate_log"] = np.log(df_train["unemp_rate"]) df_train["first_diff"] = df_train["unemp_rate_log"].diff() df_train.plot(subplots=True, title="Original vs transformed series") ``` 4. **测试差分后序列的平稳性** ```python fig = test_autocorrelation(df_train["first_diff"].dropna()) ``` 通过分析测试结果，可知对数变换后序列的一阶差分是平稳的。 5. **拟合两个不同的ARIMA模型并打印摘要** ```python arima_111 = ARIMA(df_train["unemp_rate_log"], order=(1, 1, 1)).fit() arima_111.summary() arima_212 = ARIMA(df_train["unemp_rate_log"], order=(2, 1, 2)).fit() arima_212.summary() ``` 6. **合并拟合值和预测值** ```python df["pred_111_log"] = arima_111.fittedvalues.append(arima_111.forecast(TEST_LENGTH)) df["pred_111"] = np.exp(df["pred_111_log"]) df["pred_212_log"] = arima_212.fittedvalues.append(arima_212.forecast(TEST_LENGTH)) df["pred_212"] = np.exp(df["pred_212_log"]) ``` 7. **绘制预测图并计算平均绝对百分比误差（MAPE）** ```python df[["unemp_rate", "pred_111", "pred_212"]].iloc[1:].plot(title="ARIMA forecast of the US unemployment rate") df[["unemp_rate", "pred_111", "pred_212"]].iloc[-TEST_LENGTH:].plot(title="Zooming in on the out-of-sample forecast") mape_111 = mean_absolute_percentage_error(df["unemp_rate"].iloc[-TEST_LENGTH:], df["pred_111"].iloc[-TEST_LENGTH:]) mape_212 = mean_absolute_percentage_error(df["unemp_rate"].iloc[-TEST_LENGTH:], df["pred_212"].iloc[-TEST_LENGTH:]) print(f"MAPE of ARIMA(1,1,1): {100 * mape_111:.2f}%") print(f"MAPE of ARIMA(2,1,2): {100 * mape_212:.2f}%") ``` 结果显示，ARIMA(2,1,2)模型的预测效果优于ARIMA(1,1,1)模型。 8. **提取带