扩散张量图像的非负分解及其应用

### 扩散张量图像的非负分解及其应用 #### 1. 引言 在医学成像应用中，张量图像（或张量场）十分常见，如扩散张量图像（DTI）、电导率张量图像（CTI）和弹性成像中的弹性张量等。目前，对于能够自动从单个或多个张量图像中提取重要特征的通用方法需求日益增长。本文提出了张量场的非负分解概念，并将其应用于扩散张量图像的分割。 矩阵分解在计算机视觉和图像处理中经常出现，例如主成分分析（PCA）和多视图3D结构恢复中的Tomasi - Kanade分解。非负矩阵分解（NMF）是一种特殊的矩阵分解，它要求矩阵的元素非负。与无约束的矩阵分解相比，NMF更能捕捉数据中的共同特征，其基矩阵W的列可视为输入数据中的共同部分，系数矩阵H则提供了使用这些部分重建每个输入数据的权重。 本文提出的张量值图像的非负分解是NMF的扩展。在这个扩展中，矩阵V和W的元素是二阶对称半正定（PSD）张量，H是具有非负实分量的系数矩阵。这种扩展在概念上容易理解，但由于对W的广义非负约束和PSD(3)的维度，优化问题更难解决。本文的主要工作是提出一种迭代算法，以高效可靠地计算分解，并将该方法应用于单张和多张DTI图像的分割问题。 #### 2. 预备知识 - **非负矩阵分解（NMF）**：给定一个n×m的非负矩阵V，NMF试图将其分解为两个具有非负分量的矩阵V ≈ WH，其中W是n×r的基矩阵，H是r×m的系数矩阵。从几何角度看，NMF确定了一个锥ΣW，它用W的列作为基元素来近似输入图像。 - **张量值图像的非负分解**：对于张量值图像，每个像素（或体素）都关联一个d×d的对称半正定矩阵（对于DTI，d = 3）。m个大小为n的张量图像可以排列成一个块矩阵V。非负分解试图将V分解为基矩阵W和系数矩阵H的乘积，即V ≈ W * H。其中，W中的块Wij是PSD(d)中的矩阵，块积*按特定方式定义。当d = 1时，该非负分解退化为普通的NMF。为了从数据矩阵V确定W和H，我们将其表述为一个约束优化问题，目标是最小化成本函数： \[E(W, H) = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n} \|V_{ki} - \sum_{j = 1}^{r} W_{kj}h_{ji}\|_{F}^{2}\] 约束条件为\(W_{kj} \succeq 0\)和\(h_{ji} \geq 0\)，其中\(\succeq\)表示矩阵不等式，\(\|\cdot\|_{F}\)表示Frobenius范数。 #### 3. 算法及实现细节 ##### 3.1 交替非负分解算法 目标函数E(W, H)虽然不是凸函数，但关于两个块变量W和H是凸的。我们使用块坐标下降法来解决这个约束优化问题，具体算法如下： ```plaintext Algorithm 1. 交替非负分解 初始化H1 ≥ 0. For t = 1, 2, ... – Wt+1 = argmin_W E(W, Ht), s.t. Wkj ⪰ 0, ∀k, j. – Ht+1 = argmin_H E(Wt+1, H), s.t. H ≥ 0. ``` ##### 3.2 关于基矩阵W的优化 当H固定时，优化问题(3)变为一个具有大量半正定矩阵作为约束变量的二次半定规划问题。由于大多数可用的半定规划求解器需要线性目标函数，我们设计了一种基于原始 - 对偶路径跟踪内点法的特定算法来解决这个子问题。具体步骤如下： - **原始问题**： \[ \begin{align*} \min_{W} &\frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n} \|V_{ki} - \sum_{j = 1}^{r} W_{kj}h_{ji}\|_{F}^{2}\\ \text{s.t.} & W_{kj} \succeq 0, k = 1, ..., n, j = 1, ..., r. \end{align*} \] - **引入拉格朗日函数**：引入与矩阵不等式\(W_{kj} \succeq 0\)相关的d×d对称矩阵\(Z_{kj}\)，得到拉格