分布式控制系统的稳定性区域计算与超采样序列优化

# 分布式控制系统的稳定性区域计算与超采样序列优化 ## 1. 计算稳定性区域的见解 在分布式控制系统（DCES）中，任务执行可能会被高优先级任务抢占，导致采样周期不确定。对于具有单个不确定采样周期 T 的无延迟系统，有多种方法可用于寻找稳定性条件。不同的学者采用了不同的方法，如 Lyapunov - Krasovskii 方法、小增益定理、寻找离散时间框架下的公共 Lyapunov 函数等。其中，Fujioka 的结果似乎保守性最小。 稳定性区域 ST1,T2 对于理论分析和实际应用都至关重要。更大的稳定性区域能在 DCES 设计中提供更多灵活性，并且如果采用理论上保证稳定的更大采样周期，可预留更多系统资源用于其他任务，降低成本。 ### 1.1 稳定性定理 对于由特定方程描述的无延迟系统，若存在正定矩阵 P，使得对于 (T1,T2) ∈ ST1,T2 有 Υ (T1,T2,P) < 0，则系统渐近稳定。Υ (T1,T2,P) 有两种可选形式： \[ Υ (T1,T2,P) \triangleq \left(\Phi(T2)\Phi(T1)\right)^{\prime}P\Phi(T2)\Phi(T1) - P \] \[ Υ (T1,T2,P) \triangleq \left(\Phi(T1)\Phi(T2)\right)^{\prime}P\Phi(T1)\Phi(T2) - P \] 这里选择前者形式。 ### 1.2 有用的引理 若存在 P 满足对于 T ∈ [T, T] 有 Φ′(T)PΦ(T) - P < 0，则对于 T1, T2 ∈ [T, T] 有 Υ (T1,T2,P) < 0。该引理可扩展到更多子采样周期的情况。若找到满足条件的矩阵 P，可得到参数空间 (T1, T2) 中稳定性区域的第一个估计，即由 T1, T2 ∈ [T, T] 定义的矩形区域。 ### 1.3 参数扫描方法 为了检测整个稳定性区域，采用参数扫描方法，具体步骤如下： 1. 使用现有单采样系统的结果，找到满足矩阵不等式 Φ′(T)PΦ(T) - P < 0 且区间 [T, T] 尽可能大的矩阵 P。 2. 扫描参数 T1 和 T2，检查 Υ (T1,T2,P) < 0 是否成立，并在相应的 T1 - T2 平面上标记满足条件的区域。 一般来说，步骤 1 中得到的区间 [T, T] 越大，稳定性区域越大。例如，对于一个具有两个时变不确定子采样周期 T1 和 T2 的无延迟系统，选择合适的矩阵 P 后，通过该算法可得到稳定性区域。 ### 1.4 倒立摆示例 考虑两个倒立摆系统在 DCES 框架下的控制，每个倒立摆有两个子采样周期。通过线性化倒立摆模型，得到相应的系统方程。选择不同的参数和反馈增益，根据相关定理可得到 Lyapunov 矩阵和稳定性区域。例如，对于系统 Σ1，可找到一个正方形区域 0 ≤ τ11, τ12 ≤ 0.05 使得系统稳定；对于系统 Σ2，可找到 0 ≤ τ21,