有限元方法：原理与应用

### 有限元方法：原理与应用 #### 1. 有限元方法概述 在解决连续系统的振动问题时，传统的近似方法基于假定连续系统的变形形状可以用一组假定函数来描述。通过这种方法，具有无限自由度的连续系统的振动可以用有限个常微分方程来描述。然而，这种方法仅适用于具有简单几何形状的结构元件，如杆、梁和板。在具有复杂几何形状的大型系统中，定义假定形状函数可能会遇到困难。 为了克服这些问题，有限元（FE）方法在大型结构系统的动态分析中得到了广泛应用。有限元方法是一种数值方法，可用于获得一大类工程问题的近似解，特别适用于具有复杂几何形状的问题。 在有限元方法中，结构被离散为称为单元的小区域，这些单元在选定的节点处刚性连接。每个单元内的变形可以用插值多项式来描述。这些多项式的系数由称为单元节点坐标的物理坐标定义，这些坐标描述了单元上选定节点的位移和斜率。因此，单元的位移可以表示为空间相关函数和时间相关节点坐标的乘积。通过利用单元之间的连接性，假定的位移场可以用单元形状函数和结构的节点坐标来表示。利用假定的位移场，可以建立每个单元的动能和应变能，从而定义有限元质量矩阵和刚度矩阵。结构的能量表达式可以通过对其单元的能量表达式求和得到，这就引出了结构质量矩阵和刚度矩阵的定义。 #### 2. 假定位移场 每个有限元代表一个具有无限自由度的连续系统。然而，通过选择较小的单元尺寸，单元的变形可以用相对低阶的多项式来近似。在动态情况下，这些多项式的系数是时间相关的。因此，在单元 j 的选定坐标系中，位移场定义为： \[u_j = S_j^1a_j, j = 1,2,\cdots, n_e\] 其中，\(S_j^1\) 是空间相关矩阵，\(a_j\) 是多项式的时间相关系数向量，\(n_e\) 是用于离散连续系统的单元总数。位移 \(u_j\) 可以是标量、二维或三维向量，具体取决于所使用的单元类型。 式中的时间相关系数缺乏明显的物理意义。在有限元方法中，这些系数用时间相关的单元节点坐标表示，关系如下： \[a_j = S_j^2q_j, j = 1,2,\cdots, n_e\] 其中，\(S_j^2\) 是一个常数矩阵，可以通过定义节点处的位移和斜率来获得，\(q_j\) 是单元节点坐标向量。 将上式代入位移场表达式，单元的位移场可以用单元节点坐标表示为： \[u_j = S_jq_j, j = 1,2,\cdots, n_e\] 其中，\(S_j\) 是空间相关的单元形状函数矩阵，定义为 \(S_j = S_j^1S_j^2\)。 下面通过几种常见单元来具体说明该过程： - **桁架单元**：如图所示的桁架单元仅承受拉伸或压缩载荷，因此只允许轴向位移。其位移场用一阶多项式表示为： \[u_j = a_j^1 + a_j^2x\] 可写成矩阵形式： \[u_j = \begin{bmatrix}1 & x\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_j^1 \\ a_j^2\end{bmatrix}\] 该单元有两个节点，每个节点有一个自由度，表示该节点的轴向位移。根据节点条件可得到系数 \(a_j^1\) 和 \(a_j^2\) 与节点坐标的关系，进而得到单元形状函数矩阵： \[S_j = \begin{bmatrix}1 - \frac{x}{l_j} & \frac{x}{l_j}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 - \xi & \xi\end{bmatrix}\] 其中，\(\xi = \frac{x}{l_j}\) 是无量纲参数。单元位移可表示为： \[u_j = S_jq_j = \begin{bmatrix}1 - \xi & \xi\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_j^1 \\ u_j^2\end{bmatrix}\] 也可写成： \[u_j = \phi_j^1(\xi)u_j^1 + \phi_j^2(\xi)u_j^2\] 其中，\(\phi_j^1(\xi) = 1 - \xi\)，\(\phi_j^2(\xi) = \xi\)。形状函数的元素在节点 \(i\) 处取值为 1，在其他节点处取值为 0。 - **三角形单元**：这里考虑最简单的常应变三角形单元，该单元有三个节点，每个节点有两个自由度，表示节点的水平和垂直位移，因此单元有六个节点坐标： \[q_j = \begin{bmatrix}u_j^1 & v_j^1 & u_j^2 & v_j^2 & u_j^3 & v_j^3\end{bmatrix}^T\] 位移场用多项式近似表示为： \[\begin{cases}u_j = a_j^1 + a_j^2x + a_j^3y \\ v_j = a_j^4 + a_j^5x + a_j^6y\end{cases}\] 该单元称为常应变单元，因为正应变和剪应变在单元上的每个点都是相同的。通过节点坐标条件可得到位移场的表达式： \[u_j = \begin{bmatrix}u_j \\ v_j\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}N_1 & 0 & N_2 & 0 & N_3 & 0 \\ 0 & N_1 & 0 & N_2 & 0 & N_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_j^1 \\ v_j^1 \\ u_j^2 \\ v_j^2 \\ u_j^3 \\ v_j^3\end{bmatrix}\] 其中，\(N_1\)、\(N_2\) 和 \(N_3\) 是由单元节点坐标定义的标量，矩阵 \(S_j\) 可识别为上述矩阵。并且 \(N_k(x_i, y_i)\) 具有在节点 \(i\) 处取值为 1，在其他节点处取值为 0 的性质。 - **梁单元**：梁单元有两个节点，每个节点有三个节点坐标，分别表示纵向和横向位移以及斜率。节点坐标向量为： \[q_j = \begin{bmatrix}u_j^1 & v_j^1 & \theta_j^1 & u_j^2 & v_j^2 & \theta_j^2\end{bmatrix}^T\] 位移场中，纵向位移用一阶多项式近似，横向位移用三次多项式近似： \[\begin{cases}u_j = a_j^1 + a_j^2x \\ v_j = a_j^3 + a_j^4x + a_j^5x^2 + a_j^6x^3\end{cases}\] 根据节点条件可得到位移场用节点坐标表示的形式： \[u_j = \begin{bmatrix}u_j \\ v_j\end{bmatrix} = S_jq_j\] 其中，\(S_j\) 是空间相关的单元形状函数矩阵，其表达式为： \[S_j = \begin{bmatrix}1 - \frac{x}{l_j} & 0 & 0 & \frac{x}{l_j} & 0 & 0 \\ 0 & 1 - 3(\frac{x}{l_j})^2 + 2(\frac{x}{l_j})^3 & l_j(\frac{x}{l_j} - 2(\frac{x}{l_j})^2 + (\frac{x}{l_j})^3) & 0 & 3(\frac{x}{l_j})^2 - 2(\frac{x}{l_j})^3 & l_j((\frac{x}{l_j})^3 - (\frac{x}{l_j})^2)\end{bmatrix}\] 桁架单元的形状函数矩阵可以作为梁单元形状函数矩阵在忽略横向变形时的特殊情况得到。 - **矩形单元**：矩形单元有四个节点，每个节点有两个自由度，表示水平和垂直位移。节点坐标向量为： \[q_j = \begin{bmatrix}u_j^1 & v_j^1 & u_j^2 & v_j^2 & u_j^3 & v_j^3 & u_j^4 & v_j^4\end{bmatrix}^T\] 假定的位移场用多项式表示为： \[\begin{cases}u_j = a_j^1 + a_j^2x + a_j^3y + a_j^4xy \\ v_j = a_j^5 + a_j^6x + a_j^7y + a_j^8xy\end{cases}\] 形状函数矩阵为： \[S_j = \begin{bmatrix}N_1 & 0 & N_2 & 0 & N_3 & 0 & N_4 & 0 \\ 0 & N_1 & 0 & N_2 & 0 & N_3 &