Python在分形、多重分形与图像处理中的应用

### Python在分形、多重分形与图像处理中的应用 #### 1. 多重分形康托集 多重分形康托集是一种重要的分形结构。要得到多重分形康托集，只需按图中所示为分形的左右线段分配权重（概率）。 - **q阶矩（或配分函数）**：$Z_q$ 定义为 $Z_q = \sum_{i=1}^{N} p_i^q (\ell)$，其中 $p_i$ 是权重（概率），它们的和为 1，$\ell$ 是长度尺度。 - **标度函数**：对于自相似多重分形集，标度函数 $\tau(q)$ 满足方程 $\sum_{i=1}^{N} p_i^q r_i^{\tau(q)} = 1$，其中 $r_i$ 是破碎比。广义维度 $D_q$ 和标度函数 $\tau(q)$ 的关系为 $\tau(q) = D_q(1 - q) = \frac{\ln Z_q(\ell)}{-\ln \ell}$。 - **f(α) 谱**：通过公式 $f(\alpha(q)) = q\alpha(q) + \tau(q)$ 和 $\alpha = -\frac{\partial \tau}{\partial q}$ 确定。 下面通过两个例子展示如何绘制多重分形的 f(α) 谱。 **例1：绘制康托集的 f(α) 谱** 已知 $p_1 = \frac{1}{9}$ 和 $p_2 = \frac{8}{9}$，使用以下 Python 代码绘制 f(α) 谱： ```python from sympy import symbols, log, diff, plot import matplotlib.pyplot as plt from sympy.plotting import plot_parametric plt.rcParams["font.size"] = "16" p1 , p2 = 1 / 9 , 8 / 9 q , x = symbols("q x") tau = log(p1**q + p2**q) / log(3) alpha=-diff(tau , q) f = alpha * q + tau x = q p1=plot_parametric(alpha , f , (q, -10, 10),xlabel=r'$\alpha$', ylabel=r"$f(\alpha)$",show=False) p2=plot(x, q, (x, 0, 0.7),line_color="r",show=False) p1.append(p2[0]) p1.show() ``` **例2：绘制多重分形的 f(α) 谱** 已知 $p_1 = 0.1$，$p_2 = 0.15$，$p_3 = 0.2$ 和 $p_4 = 0.55$，使用以下 Python 代码绘制 f(α) 谱： ```python from sympy import symbols, log, diff, plot import matplotlib.pyplot as plt from sympy.plotting import plot_parametric plt.rcParams["font.size"] = "16" p1 , p2 , p3 , p4 = 0.1 , 0.15 , 0.2 , 0.55 q , x = symbols("q x") tau = log(p1**q + p2**q + p3**q + p4**q) / log(2) alpha=-diff(tau , q) f = alpha * q + tau x = q p1=plot_parametric(alpha , f , (q, -15, 10),xlabel=r'$\alpha$', ylabel=r"$f(\alpha)$",show=False) p2=plot(x, q, (x, 0, 2.2),line_color="r",show=False) p1.append(p2[0]) p1.show() ``` 多重分形在测量物体在表面上的密度、分散和聚类方面非常有用，具有广泛的应用，例如在材料科学中预测阻燃填料/聚合物复合材料，在石墨烯宏观电极制造中研究电化学沉积，识别表面粗糙度如何影响真菌孢子结合，以及量化微生物细胞在不同化学和地形表面上的分散模式。 #### 2. 曼德勃罗集 曼德勃罗集是复平面上的一个点集，对于函数 $f_c (z_n) = z_{n+1} = z_n^2 + c$，从 $z_0 = 0$ 开始迭代，若迭代结果保持有界，则复数 $c$ 属于曼德勃罗集。像素根据迭代结果越过某个边界的速度进行着色。 **例：用 Python 绘制曼德勃罗集** 以下是绘制曼德勃罗集的 Python 代码： ```python import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import matplotlib.cm as cm xmin, xmax, ymin, ymax = -2.5, 1, -1.5, 1.5 xrange = xmax - xmin yrange = ymax - ymin def get_iter(c:complex, thresh:int =4, max_steps:int =25) -> int: z, i = c, 1 while i<max_steps and (z*z.conjugate()).real<thresh: z = z * z + c i+=1 return i def plotter(n, thresh, max_steps = 25): mapper = lambda x, y: (4*(x-n//2)/n, 4*(y-n//2)/n) img = np.full((n,n), 255) x_lower = 0 x_upper = 5*n//8 y_lower = 2*n//10 y_upper = 8*n//10 for x in range(x_lower, x_upper): for y in range(y_lower, y_upper): it = get_iter(complex(*mapper(x,y)), thresh=thresh, \ max_steps=max_steps) img[y][x] = 255 - it return img[y_lower:y_upper, x_lower:x_upper] n=1000 img = plotter(n, thresh=4, max_steps=50 ```