生成器网络：从因子分析到图像生成的深度探索

### 生成器网络：从因子分析到图像生成的深度探索 #### 1. 引言 在图像模型领域，生成器网络是一个关键的研究方向。它为图像的学习、推理和生成提供了强大的工具。本文将深入探讨生成器网络的相关知识，包括因子分析、非线性因子分析、交替反向传播学习算法以及对AAM模型的非线性推广。 #### 2. 因子分析 因子分析是许多后续模型的原型。假设 $I$ 是一个 $D$ 维的观测示例（如图像），$z$ 是 $d$ 维的连续潜在因子向量，$z = (z_k, k = 1, \ldots, d)$。传统的因子分析模型为 $I = Wz + \epsilon$，其中 $W$ 是 $D \times d$ 矩阵，$\epsilon$ 是 $D$ 维误差向量或观测噪声。同时，假设 $z \sim N(0, I_d)$，$\epsilon \sim N(0, \sigma^2I_D)$，且 $\epsilon$ 与 $z$ 相互独立。 从不同视角来看 $W$： - **基向量视角**：将 $W$ 写为 $W = (W_1, \ldots, W_d)$，每个 $W_k$ 是一个 $D$ 维列向量。则 $I = \sum_{k = 1}^{d} z_kW_k + \epsilon$，$W_k$ 是基向量，$z_k$ 是系数。 - **负载矩阵视角**：将 $W$ 写为 $W = (w_1, \ldots, w_D)^{\top}$，$w_j$ 是 $W$ 的第 $j$ 行。则 $I_j = \langle w_j, z \rangle + \epsilon_j$，每个 $I_j$ 是 $d$ 个因子的负载，$w_j$ 是负载权重向量，$W$ 被称为负载矩阵。 - **矩阵分解视角**：若观测到 $I = (I_1, \ldots, I_n)$，其因子为 $Z = (z_1, \ldots, z_n)$，则 $I \approx WZ$。 因子分析模型可以通过Rubin - Thayer EM算法进行学习，该算法包括E步中 $z$ 对 $I$ 的交替回归和M步中 $I$ 对 $z$ 的交替回归。 基于因子分析模型，后续有许多推广模型： | 模型名称 | 特点 | | ---- | ---- | | 独立成分分析 | $d = D$，$\epsilon = 0$，$z_k$ 遵循独立的重尾分布 | | 稀疏编码 | $d > D$，$z$ 是冗余但稀疏的向量，只有少数 $z_k$ 非零 | | 非负矩阵分解 | $z_k \geq 0$ | #### 3. 非线性因子分析 生成器网络是因子分析的非线性推广，它将因子分析中的线性映射推广为卷积神经网络（ConvNet）定义的非线性映射。生成器网络具有以下特性： - **分析**：将观测示例中的变化分解为潜在因子的独立变化。 - **合成**：通过从已知先验分布中采样因子，并将其转换为合成示例，从而合成新的示例。 - **嵌入**：将观测示例形成的高维非欧几里得流形嵌入到潜在因子的低维欧几里得空间中，使得低维因子空间中的线性插值在数据空间中产生非线性插值。 具体来说，生成器网络模型保留了传统因子分析的假设 $d < D$，$z \sim N(0, I_d)$，$\epsilon \sim N(0, \sigma^2I_D)$，但将线性映射 $Wz$ 推广为非线性映射 $g(z; \theta)$，其中 $g$ 是ConvNet，$\theta$ 收集了ConvNet的所有连接权重和偏置项。模型变为： \[ \begin{cases} I = g(z; \theta) + \epsilon \\ z \sim N(0, I_d) \\ \epsilon \sim N(0, \sigma^2I_D) \\ d < D \end{cases} \] 重构误差为 $\|I - g(z; \theta)\|^2$。 ConvNet参数化的 $g(z; \theta)$ 与原始因子分析特别接近。自上而下的ConvNet可以表示为： \[z^{(l - 1)} = g_l(W_lz^{(l)} + b_l)\] 其中 $g_l$ 是第 $l$ 层的逐元素非线性函数，$W_l$ 是权重矩阵，$b_l$ 是第 $l$ 层的偏置项向量，$\theta = (W_l, b_l, l = 1, \ldots, L)$，$z^{(0)} = g(z; \theta)$，$z^{(L)} = z$。 #### 4. 交替反向传播学习 受因子分析的Rubin - Thayer EM算法启发，提出了交替反向传播算法来学习生成器网络，该算法迭代以下两个步骤： - **推理反向传播**：对于每个训练示例，通过Langevin动力学