量子力学中的希尔伯特空间与相关概念

### 量子力学中的希尔伯特空间与相关概念 #### 1. 希尔伯特空间基础 在量子力学里，希尔伯特空间是一个重要概念。若 |α⟩ 是向量，那么 c |α⟩ 同样是向量，这里的 c 通常是复数。考虑 n 个向量的线性组合： \[c_1 |α_1⟩ + c_2 |α_2⟩ + \cdots + c_n |α_n⟩\] 当且仅当 \(c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0\) 时，此和等于零向量 0，这时向量组 \(|α_1⟩, |α_2⟩, \cdots, |α_n⟩\) 被称作线性无关。一个能容纳 n 个线性无关向量，但不能容纳 \(n + 1\) 个的空间，被定义为 n 维空间。一般而言，希尔伯特空间允许无穷维，但我们主要关注由有限且可数的一组基向量张成的希尔伯特空间，例如五灯泡系统的希尔伯特空间维数为 32。 #### 2. 狄拉克的括号记号 内积（或标量积）是希尔伯特空间的一种结构，用于衡量两个向量的“重叠”程度。在普通三维欧几里得空间中，两个向量的点积就是内积的一个例子。这里我们引入狄拉克的括号记号来定义内积。之前我们用符号 \(| \cdots ⟩\) 表示希尔伯特空间中的向量，这被称为右矢（ket）。同时，我们引入对偶空间，它可看作希尔伯特空间中向量（右矢）的镜像。对于右矢 \(|α⟩\)，其在对偶空间的对应向量用 \(⟨α|\) 表示，称为左矢（bra）。 若右矢 \(|Ψ ⟩ = c_1|α_1⟩ + c_2 |α_2⟩ + \cdots + c_n |α_n⟩\)，那么其对应的左矢为 \(⟨Ψ | = c_1^*⟨α_1| + c_2^* ⟨α_2| + \cdots + c_n^* ⟨α_n|\)，这里的展开系数是右矢空间中对应系数的复共轭。 右矢和左矢只能同类相加，像 \(|Ψ ⟩ + ⟨Φ|\) 这样的表达式是无意义的。但我们可以通过右矢和左矢的特定组合构建新的结构，主要有两种形式： - \(⟨Φ|Ψ ⟩\)：表示内积，结果是一个复数。 - \(|Ψ ⟩⟨Φ|\)：称为外积，它既不是标量也不是向量，后续会将其解释为算符。 内积具有以下性质： - \(⟨Φ|Ψ ⟩ = ⟨Ψ |Φ ⟩^*\)，即它们互为复共轭。 - \(⟨Ψ |Ψ ⟩ \geq 0\)，这使得我们可以为任何向量赋予一个“长度” \(\sqrt{⟨Ψ |Ψ ⟩}\)。当 \(⟨Ψ |Ψ ⟩ = 1\) 时，该向量被称为单位长度或归一化的。 狄拉克的内积分配公理指出，对于两个向量 \(|Ψ ⟩ = c_1|α_1⟩ + c_2|α_2⟩\) 和 \(|Φ⟩ = d_1|α_1⟩ + d_2|α_2⟩\)，它们的内积为： \[⟨Ψ |Φ⟩ = (c_1^*⟨α_1| + c_2^*⟨α_2|)(d_1|α_1⟩ + d_2|α_2⟩) = c_1^*d_1⟨α_1|α_1⟩ + c_1^*d_2⟨α_1|α_2⟩ + c_2^*d_1⟨α_2|α_1⟩ + c_2^*d_2⟨α_2|α_2⟩\] 若两个向量 \(|α_1⟩\) 和 \(|α_2⟩\) 的内积为零，即 \(⟨α_1|α_2⟩ = ⟨α_2|α_1⟩ = 0\)，则称它们正交。在 n 维希尔伯特空间中，若一组 n 个归一化的线性无关向量 \(|α_1⟩, |α_2⟩, \cdots, |α_n⟩\) 两两正交，即 \(⟨α_i|α_j⟩ = δ_{ij}\)（\(δ_{ij}\) 是克罗内克符号，当 \(i = j\) 时 \(δ_{ij} = 1\)，否则 \(δ_{ij} = 0\)），那么这组向量构成该向量空间的一组基。例如，三维欧几里得空间中的单位向量 \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) 就构成了一组基。 在五量子比特寄存器的希尔伯特空间中，有如下假设： - m - 假设 III a：式 (1.3) 右侧列出的 32 个向量构成了五量子比特寄存器希尔伯特空间的一组基。这些向量两两正交且每个向量长度为 1，即基向量是正交归一的。 - m - 假设 II b：\(|Ψ ⟩ = \sum_{i = 1}^{n} c_i|α_i⟩\)。若要求 \(|Ψ ⟩\) 具有单位长度，即 \(⟨Ψ |Ψ ⟩ = 1\)，则有 \(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} c_i^* c_j ⟨α_i|α_j⟩ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} c_i^* c_jδ_{ij} = \sum_{i = 1}^{n} |c_i|^2 = 1\)。 下面我们通过与向量微积分中熟悉的例子进行对比，来巩固对这些概念的理解： |结构|欧几里得空间|希尔伯特空间| | ---- | ---- | ---- | |基展开|\(\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}\)|\(|Ψ ⟩ = c_1 |α_1⟩ + c_2 |α_2⟩ + \cdots + c_n |α_n⟩\)| |内积|\(\vec{A} \cdot \vec{B}\)|\(⟨Φ |Ψ ⟩\)| |基分量|\(A_x = \vec{A} \cdot \hat{i}, \cdots\)|\(c_i = ⟨α_i |Ψ ⟩, i = 1, 2, \cdots, n\)| |外积（并矢）|\(\hat{j} \hat{k}, \cdots\)|\(|α_i⟩⟨α_j|\)| 我们还引入了一种更简洁的记号来表示基向量，例如 \(|00000⟩ \equiv |0⟩_5\)，\(|00010⟩ \equiv |2⟩_5\) 等。此时 \(|Φ⟩ = \sum_{i = 0}^{31} |i⟩_5\)，且 \(⟨Φ|Φ⟩ = \sum_{i = 0}^{31} \sum_{j = 0}^{31} _5⟨i|j⟩_5 = 32\)。由于希尔伯特空间中的向量有长度，我们要求物理状态具有单位长度，即 \(⟨Ψ |Ψ ⟩ = 1\)。 #### 3. 玻恩规则 现在我们可以陈述五量子比特寄存器的玻恩规则（m - 假设 III b）：若五量子比特寄存器处于状态 \(|Ψ ⟩ = \sum_{i = 0}^{31} c_i|i⟩_5\)，那么一次测量会得到对应 32 个状态 \(|i⟩_5\) 之一的灯泡配置，其概率为 \(p_i = |c_i|^2 = |⟨i|Ψ ⟩_5|^2\)，并且由于 \(⟨Ψ |Ψ ⟩ = 1\)，有 \(\sum_{i} p_i = 1\)。 为了更好地理解玻恩规则，我们进行一个思想实验。假设有 1000 个实验者，每个实验者的实验室里都有一个五灯泡寄存器，且每个系统都由相同的状态向量 \(|Ψ ⟩\) 描述。他们对灯泡配置进行测量，m - 假设 I 表明测量会得到 32 种可能配置之一。实验者将测量结果记录在实验手册中，之后进行数据对比。例如，某次实验的结果如下表所示： |测量结果|观测次数| | ---- | ---- | |00000|101| |01000|209| |10001|321| |11000|369| 根据概率的频率解释，经过大量 \(N\) 次试验后，得到第 \(i\) 个结果的概率 \(p_i = (\text{得到选择 } i \text{ 的试验次数}) / N\)，显然 \(\sum_{i} p_i = 1\)。基于这些数据，我们可以推测状态 \(|Ψ ⟩\)，一个合理的假设是： \[|Ψ ⟩ = \sqrt{\frac{101}{1000}} |0⟩_5 + \sqrt{\frac{209}{1000}} |8⟩_5 + \sqrt{\frac{321}{1000}} |17⟩_5 + \sqrt{\frac{369}{1000}} |24⟩_5\] 但这不是唯一的选择，因为展开系数 \(c_i\) 是复数，当系数乘以任意相位 \(β\)（即 \(c_i \to \exp(iβ)c_i\)）时，概率分布 \(|c_i|^2\) 不变。而且，频率解释只有在 \(N \to \infty\) 时才能保证结果，重复实验可能会出现统计波动。 玻恩规则表明量子力学是一种概率性理论，即使完全了解系统状态 \(|Ψ ⟩\)，也不能保证测量有确定结果，它只能给出测量结果的概率分布。一旦进行测量，系统会“坍缩”到对应测量结果的基态，之后再进行测量，该结果的概率为 1。 下面是一个简单的流程图，展示了测量过程： ```mermaid graph TD; A[系统处于状态 |Ψ ⟩] --> B[进行测量]; B --> C{得到结果}; C -->|结果为 |i⟩| D[系统坍缩到 |i⟩ 态]; D --> E[后续测量结果为 |i⟩ 的概率为 1]; ``` ### 量子力学中的希尔伯特空间与相关概念 #### 4. 外积与算符 在这部分，我们使用狄拉克的括号形式构建外积。狄拉克的外积分配公理指出，对于状态 \(|Ψ ⟩ = c_1|α_1⟩ + c_2|α_2⟩\) 和 \(|Φ⟩ = d_1|α_1⟩ + d_2|α_2⟩\)，它们的外积为： \[|Ψ ⟩⟨Φ| = (c_1|α_1⟩ + c_2|α_2⟩)(d_1^*⟨α_1| + d_2^*⟨α_2|) = c_1d_1^*|α_1⟩⟨α_1| + c_1d_2^*|α_1⟩⟨α_2| + c_2d_1^*|α_2⟩⟨α_1| + c_2d_2^*|α_2⟩⟨α_2|\] 考虑外积 \(X \equiv |Φ⟩⟨Ψ |\)，根据狄拉克记号，我们可以将它放在右矢 \(|Γ ⟩\) 前面，或者左矢 \(⟨Γ |\) 的右边，即 \(X |Γ ⟩\) 和 \(⟨Γ | X\) 分别是希尔伯特空间和对偶空间中的有效表达式，但 \(|Γ ⟩X\) 和 \(X⟨Γ |\) 是不合法的。 狄拉克的外积结合公理表明： - 对于外积 \(X\) 和右矢 \(|Γ ⟩\)，\(X |Γ ⟩ = (|Φ⟩⟨Ψ |) |Γ ⟩ = |Φ⟩(⟨Ψ |Γ ⟩) = c |Φ⟩\)，其中 \(c \equiv ⟨Ψ |Γ ⟩\)。 - 对于左矢 \(⟨Γ |\)，\(⟨Γ | X = ⟨Γ |(|Φ⟩⟨Ψ |) = (⟨Γ |Φ⟩)⟨Ψ | = ⟨Ψ | d\)，其中 \(d \equiv ⟨Γ |Φ⟩\)。 从上述规则可以看出，外积 \(X\) 作用在向量 \(|Γ ⟩\) 上，将其变换为希尔伯特空间中的另一个向量 \(c |Φ⟩\)，在对偶空间中也有类似作用。因此，外积可以用来构建希尔伯特空间中的算符，算符可以将一个向量映射到希尔伯特空间中的另一个向量。 下面介绍几个重要的算符定义： - **伴随算符**：对于算符 \(X\) 和右矢 \(|Φ⟩\)，\(X |Φ⟩\) 的对偶由表达式 \(⟨Φ| X^{\dagger}\) 给出，\(X^{\dagger}\) 称为 \(X\) 的伴随算符或共轭转置算符。 - **厄米算符**：具有 \(X = X^{\dagger}\) 性质的算符 \(X\) 称为厄米算符或自伴算符。 - **幺正算符**：算符 \(U\) 是幺正算符，当且仅当 \(U U^{\dagger} = U^{\dagger} U = 1\)，其中 \(1\) 是单位算符，即 \(1|Ψ ⟩ = |Ψ ⟩\) 对于希尔伯特空间中的所有 \(|Ψ ⟩\) 都成立。 厄米算符和幺正算符在量子计算和信息应用中起着核心作用。 #### 5. 本征值与本征向量 算符可以将希尔伯特空间中的一个向量变换为另一个向量，对于某些向量 \(|Φ⟩\)，存在特殊的变换性质： \[X |Φ⟩ = φ |Φ⟩\] 这种类型的方程称为本征值方程，向量 \(|Φ⟩\) 称为本征向量，常数 \(φ\) 称为与该本征向量相关的本征值。 关于厄米算符有两个重要定理： - **定理 1.1**：厄米算符的本征值是实数。 - **定理 1.2**：如果厄米算符的本征值是不同的，那么对应的本征向量相互正交；如果某些本征值相同（简并），则可以将这些本征向量的线性组合变为相互正交。 下面以五量子比特寄存器为例进行说明。由于所有操作都在 32 维希尔伯特空间中进行，右矢 \(|j⟩_5\) 简记为 \(|j⟩\)。考虑算符 \(N_6 \equiv |00110⟩⟨01100|\)，即 \(|6⟩⟨6|\)。 - 首先，\(N_6\) 是厄米算符，根据定理 1.1，其本征值是实数。实际上，\(N_6\) 的本征值为 1 和 0，分别对应本征向量 \(|6⟩\) 和 \(j \neq 6\) 的右矢 \(|j⟩\)。 - 证明： - \(N_6 |6⟩ = (|6⟩⟨6|) |6⟩ = |6⟩(⟨6|6⟩) = 1 |6⟩\) - \(N_6 |j⟩ = |6⟩(⟨6|j⟩) = 0 |j⟩\)（\(j \neq 6\)），这里使用了向量 \(|j⟩\) 的正交归一性。本征值 0 是 31 重简并的，因为每个 \(|j \neq 6⟩\) 都有相同的本征值。同时，\(N_6\) 的本征向量也满足定理 1.2。 - 再定义另一个算符 \(N \equiv \sum_{j = 0}^{31} j (|j⟩⟨j|)\)，这里外积 \((|j⟩⟨j|)\) 乘以标记每个右矢的整数 \(j\)。可以证明 \(N^{\dagger} = \sum_{j = 0}^{31} j (|j⟩⟨j|) = N\)，所以 \(N\) 是厄米算符。其本征向量 \(|j⟩\) 由 \(j\) 标记，\(j\) 恰好是 \(N\) 的本征值。根据玻恩规则，用算符 \(N\) 对处于状态 \(|Ψ ⟩\) 的量子比特寄存器进行测量，得到寄存器处于第 \(j\) 个配置的概率为 \(p_j = |⟨j|Ψ ⟩|^2\)。因此，算符 \(N\) 是一个配置或占据数测量算符，其本征值标识了测量所揭示的每个可能配置标签。 下面的表格总结了不同算符的性质： |算符类型|定义|性质| | ---- | ---- | ---- | |伴随算符|\(X^{\dagger}\) 满足 \(⟨Φ| X^{\dagger}\) 是 \(X |Φ⟩\) 的对偶|用于描述算符的对偶关系| |厄米算符|\(X = X^{\dagger}\)|本征值为实数，本征向量可正交化| |幺正算符|\(U U^{\dagger} = U^{\dagger} U = 1\)|保持向量长度不变| 最后，给出一个流程图，展示算符作用于向量的过程： ```mermaid graph TD; A[向量 |Γ ⟩] --> B[算符 X 作用]; B --> C[得到新向量 c |Φ⟩]; ``` 通过以上内容，我们深入了解了希尔伯特空间、外积、算符以及本征值和本征向量等概念在量子力学中的应用，这些概念是理解量子计算和信息理论的基础。