拓扑量子物质的理论研究

### 拓扑量子物质的理论研究 拓扑量子物质是当今凝聚态物理领域的研究热点，它具有许多独特的性质和潜在的应用价值。本文将介绍用于描述拓扑量子物质的理论方法，重点关注连续狄拉克模型和紧束缚模型，并探讨它们在研究拓扑量子态中的应用。 #### 1. 理论方法的选择 描述拓扑量子物质的理论方法取决于我们要研究的拓扑相类型（如非相互作用或相互作用）以及我们感兴趣的信息类型。对于非相互作用的拓扑相，可以使用拓扑能带理论，结合固体能带理论的基本工具进行描述。然而，模型的复杂程度取决于我们是仅关注系统的拓扑性质，还是需要考虑某些非拓扑特征。 例如，预测特定材料是否为拓扑绝缘体需要详细了解其能带结构，这可以通过密度泛函理论（DFT）方法获得。而要理解拓扑绝缘体的分类，简单的有效模型（如连续狄拉克模型或紧束缚模型）就足够了。这些不同复杂度的描述在拓扑上是等价的，只要能在不关闭绝缘能隙的情况下平滑连接相应的哈密顿量。但有效模型只能粗略描述实验相关的性质，如能隙、能带色散和边界态的实空间性质。 在低能长波长极限下，系统的性质可以用拓扑场论来描述。这些理论与非拓扑场论类似，但包含某些拓扑项，用于描述系统的通用拓扑性质。场论方法可用于非相互作用系统和相互作用拓扑相。当然，不同复杂度的相互作用晶格模型也可用于研究拓扑序和拓扑相的其他方面。一般来说，涉及相互作用拓扑相的问题非常困难，目前是拓展已知拓扑领域的主要理论战场。 #### 2. 拓扑能带理论：连续狄拉克模型 非相互作用的拓扑相（如拓扑绝缘体和超导体）可以在能带理论框架内描述。与传统能带理论不同，我们不仅要关注能带色散，还要考虑本征向量的性质，这些性质最终决定了系统的拓扑性质。由于保持能隙的哈密顿量平滑变形以及平凡能带的加减不影响拓扑不变量，我们可以关注靠近体能隙最小值的低能态。相应能带的色散可以在能隙最小值之外进行修改，而更高能量的能带可以忽略。在连续极限下，系统将由一个狄拉克型模型描述，其最小分量数取决于哈密顿量的对称类。需要注意的是，相应的动量空间是d维球面$S^d$，而不是布里渊环面$T^d$。 ##### 2.1 石墨烯和狄拉克费米子 石墨烯是一种二维碳材料，由蜂窝晶格组成，每个顶点有一个原子。近年来，石墨烯的研究备受关注，因为它具有独特的电子能带结构，其导带和价带在两个不同的狄拉克点相遇。在这些点附近，电子能谱类似于无质量相对论粒子的色散。 石墨烯本身不是拓扑绝缘体，但它为固态系统中具有狄拉克型色散的准粒子的出现提供了范例，同时也是陈绝缘体的霍尔丹模型和二维量子自旋霍尔绝缘体的凯恩 - 梅勒模型的基础。 石墨烯的最简单理论描述基于一个两带模型，对应于蜂窝晶格晶胞中两个等价位置的$p_z$轨道。选择平移向量$a_1 = a(\sqrt{3}, 0)$和$a_2 = \frac{a}{2}(\sqrt{3}, 3)$，我们可以得到倒格子向量$b_1 = \frac{2\pi}{3a}(\sqrt{3}, -1)$和$b_2 = \frac{4\pi}{3a}(0, 1)$，布里渊区可以取为顶点在$K$和$K'$点的六边形，其中： \[K = \frac{4\pi}{3a}(\frac{1}{\sqrt{3}}, 0), K' = \frac{2\pi}{3a}(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1)\] 在最近邻跳跃的紧束缚近似下，布洛赫哈密顿量可以表示为： \[H(k) = h(k) \cdot \sigma\] 其中$\sigma = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$是2×2泡利矩阵。这里我们忽略了自旋自由度，包含自旋后，布洛赫哈密顿量将由一个块对角的4×4矩阵表示，每个自旋块由上式给出。向量$h(k)$的平面分量为： \[h_x(k) + ih_y(k) = -t(1 + e^{ik \cdot a_1} + e^{ik \cdot a_2})\] 其中$-t$是最近邻跳跃矩阵元。 在存在反演对称性（$I$）和时间反演对称性（$T$）的情况下，平面外分量$h_z(k) = 0$。我们发现$h(k)$在$K$和$K'$点实际上为零，这些狄拉克点对任何保持$T$和$I$对称性的小扰动都是局部稳定的。在狄拉克节点附近，低能物理可以用有效的二维无质量狄拉克哈密顿量描述： \[H(q) = \hbar v_F q \cdot \sigma\] 其中$v_F = \frac{3}{2}ta / \hbar$。打破反演对称性会使$h_z(k)$不为零，从而打开能隙，有效狄拉克哈密顿量变为有质量的： \[H(q) = \hbar v_F q \cdot \sigma + m\sigma_z\] 其中$m = h_z(K)$，色散关系为$E(q) = \pm \sqrt{|\hbar v_F q|^2 + m^2}$，能隙为$2|m|$。打破$T$对称性会在$K$和$K'$点诱导出符号相反的质量项。 ##### 2.2 量子自旋霍尔态：凯恩 - 梅勒模型 具有由打破$T$对称性诱导的质量项的石墨烯是二维陈绝缘体。霍尔丹在20世纪80年代末首次意识到这一点，他旨在在没有朗道能级的情况下实现整数量子霍尔效应，实际上是在没有通过晶胞的净磁通量的情况下，使电子态保持其通常的布洛赫特征。 那么，能否在不打破$T$对称性的情况下实现具有非平凡拓扑性质的系统