IIR滤波器的稳定性、频率响应及多域分析

### IIR滤波器的稳定性、频率响应及多域分析 #### 1. IIR系统的稳定性 在分析IIR系统时，系统函数极点的位置对系统稳定性起着关键作用。若系统函数的极点位于 \(z = a_1\)，当 \(|a_1| < 1\) 时，随着 \(n \to \infty\)，系统的脉冲响应会逐渐衰减至零；而当 \(|a_1| \geq 1\) 时，脉冲响应不会消失。特别是当 \(|a_1| > 1\) 时，输出信号会无界地指数增长，这样的系统通常是无用的，被称为不稳定系统。对于因果LTI系统，稳定性的一般条件是脉冲响应的绝对可和性。 下面我们通过一个表格来更清晰地展示不同情况下系统的稳定性： | 极点位置 \(|a_1|\) | 系统稳定性 | 脉冲响应特性 | | ---- | ---- | ---- | | \(|a_1| < 1\) | 稳定 | 随着 \(n \to \infty\) 衰减至零 | | \(|a_1| \geq 1\) | 不稳定 | 不衰减，可能无界增长 | 对于一阶系统，可通过检查极点相对于单位圆的位置来判断稳定性。若极点在 \(z\) 平面的单位圆内，即 \(|a_1| < 1\)，则系统稳定。对于因果高阶IIR系统，同样要求所有极点都在单位圆内才能保证系统稳定。 例如，对于因果系统 \(H(z) = \frac{1 - 2z^{-1}}{1 - 0.8z^{-1}} = \frac{z - 2}{z - 0.8}\)，其零点在 \(z = 2\)，极点在 \(z = 0.8\)。由于极点在单位圆内，所以该系统是稳定的，而零点在单位圆外并不影响系统的稳定性。 稳定性的另一个重要定义是有界输入有界输出（BIBO）稳定性，即对于任何有界输入 \(|x[n]| < M_x < \infty\)，系统的输出 \(|y[n]| < M_y < \infty\)。对于因果LTI系统，BIBO稳定性可通过脉冲响应的绝对可和性来判断，即 \(\sum_{m = 0}^{\infty} |h[m]| < \infty\)。 FIR系统的脉冲响应持续时间有限，只要 \(h[n]\) 的值有限，就满足绝对可和性条件，因此所有实际的FIR系统都是稳定的。而IIR系统由于其差分方程中存在反馈，脉冲响应持续时间无限，部分IIR系统可能不稳定。 下面我们通过一个例子来进一步说明不稳定系统的情况。考虑一阶差分方程 \(y[n] = y[n - 1] + x[n]\)，这是一个累加器系统。其脉冲响应为单位阶跃信号 \(h[n] = u[n]\)，系统函数为 \(H(z) = \frac{1}{1 - z^{-1}}\)，ROC为 \(1 < |z|\)。对脉冲响应应用稳定性条件 \(\sum_{n = 0}^{\infty} |u[n]| = \sum_{n = 0}^{\infty} 1 \to \infty\)，可知该系统不稳定。例如，当输入为 \(x[n] = u[n - 1]\) 时，输出 \(y[n] = nu[n - 1]\) 会随 \(n\) 线性增长，无法找到一个有限的 \(M_y\) 使得 \(|y[n]| < M_y\) 对所有 \(n\) 成立。 #### 2. 收敛域与稳定性 稳定性也可以在 \(z\) 变换域进行测试。系统函数 \(H(z)\) 的收敛域（ROC）与IIR系统的稳定性相关，因为两者都基于绝对可和性。系统函数定义为脉冲响应的 \(z\) 变换，对于因果系统，\(H(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} h[n]z^{-n}\)。 ROC是使得上述无穷级数绝对收敛的 \(z\) 值集合。在 \(z\) 平面的单位圆上，即 \(z = e^{j\hat{\omega}}\) 或 \(|z| = 1\)，若满足 \(\sum_{n = 0}^{\infty} |h[n]| < \infty\)，则脉冲响应绝对可和。因此，IIR系统稳定的充要条件是其系统函数 \(H(z)\) 的收敛域包含 \(z\) 平面的单位圆。 对于一阶系统 \(h[n] = a_1^n u[n]\)，其ROC为 \(\{z : |a_1| < |z|\}\)，当 \(|a_1| < 1\) 时，收敛域包含单位圆，系统稳定。对于一般的因果LTI IIR系统，其脉冲响应是指数项的加权和 \(h[n] = \sum_{k = 1}^{N} A_k p_k^n u[n]\)，其中