凸函数的对偶几何与核磁共振量子计算

# 凸函数的对偶几何与核磁共振量子计算 ## 1. 凸函数的对偶几何基础 在研究凸函数时，我们会遇到一些重要的方程和概念。例如方程 $-u_i + \frac{\partial\Phi}{\partial x_i}(x) = 0$，这里的 $\tilde{\Phi}$ 是 $\Phi$ 的凸共轭，$u = [u_1, \ldots, u_n]$ 是共轭变量。对于图浸入的情况，有 $\Gamma_{ki,j} = 0$，$S_{k}^i = 0$，$t_{ij} = 0$，$\tau_i = 0$，$\kappa_i = 0$ 对所有指标都成立，并且 $h_{ij}(x) = \frac{\partial^2\Phi(x)}{\partial x_i\partial x_j}$。 ### 1.1 几何散度 我们可以为余维数为 2 的质心仿射浸入 $\{f, -f, \xi\}$ 及其相关的对偶映射 $\{\tilde{f}, -\tilde{f}, \zeta\}$ 构造几何散度 $G$： $G(x, y) = \langle \tilde{f}(y), f(x) - f(y) \rangle_{n + 2} = \langle \tilde{f}(y), f(x) \rangle_{n + 2} = \sum_{a = 1}^{n + 2} \tilde{f}_a(y)f_a(x)$ 对于图浸入，将 $f$ 和 $\tilde{f}$ 代入可得： $G(x, y) = -\langle x, (\partial\Phi)(y) \rangle_n + \Phi(x) + \tilde{\Phi}((\partial\Phi)(y)) \equiv B_{\Phi}(x, y)$ 在余维数为 1 的等仿射浸入和余维数为 2 的质心仿射浸入中，几何散度是对偶平坦空间上 Bregman（规范）散度的推广。 ### 1.2 散度函数诱导的黎曼结构 S. Eguchi 首次证明了散度函数可以诱导黎曼度量 $g$ 和一对共轭联络 $\Gamma$，$\Gamma^*$： - $g_{ij}(x) = -\frac{\partial x_i\partial y_j D(x, y)}{\vert_{y = x}}$ - $\Gamma_{ij,k}(x) = -\frac{\partial x_i\partial x_j\partial y_k D(x, y)}{\vert_{y = x}}$ - $\Gamma_{ij,k}^*(x) = -\frac{\partial y_i\partial y_j\partial x_k D(x, y)}{\vert_{y = x}}$ 将这些公式应用于 Bregman 散度 $B_{\Phi}(x, y)$ 可得： - $g_{ij}(x) = \frac{\partial^2\Phi(x)}{\partial x_i\partial x_j}$ - $\Gamma_{ij,k}(x) = 0$ - $\Gamma_{ij,k}^*(x) = \frac{\partial^3\Phi(x)}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}$ 计算它们的曲率张量表明这对联络是对偶平坦的，在仿射几何文献中通常称为“黑塞流形”。 ### 1.3 α - 黑塞几何 #### 1.3.1 基本结构 与散度函数 $D_{\Phi}^{(\alpha)}(x, y)$ 相关的流形 $\{M, g_x, \Gamma_x^{(\alpha)}, \Gamma_x^{(-\alpha)}\}$ 由以下式子给出： - $g_{ij}(x) = \Phi_{ij}$ - $\Gamma_{ij,k}^{(\alpha)}(x) = \frac{1 - \alpha}{2} \Phi_{ijk}$ - $\Gamma_{ij,k}^{*(\alpha)}(x) = \frac{1 + \alpha}{2} \Phi_{ijk}$ 这里 $\Phi_{ij} = \frac{\partial^2\Phi(x)}{\partial x_i\partial x_j}$，$\Phi_{ijk} = \frac{\partial^3\Phi(x)}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}$。 #### 1.3.2 曲率张量和体积形式 对于 α - 黑塞流形 $\{M, g_x, \Gamma_x^{(\alpha)}, \Gamma_x^{(-\alpha)}\}$： - 曲率张量：$R_{\mu\nu ij}^{(\alpha)}(x) = \frac{1 - \alpha^2}{4} \sum_{l,k} (