粒子群优化算法的改进与非线性加速系数调整研究

# 粒子群优化算法的改进与非线性加速系数调整研究 ## 1. 基于群体分布特征的改进粒子群优化算法 ### 1.1 改进算法原理 在粒子群优化算法中，新的基于进化策略的粒子群优化算法（ES - PSO）是在经典粒子群优化算法（C - PSO）的基础上进行改进的。它增加了两个额外步骤：分布特征计算和探索与开发模式之间的切换。 在探索模式中采用重新初始化策略来增加种群的多样性，在开发模式中采用新的解生成策略。具体步骤如下： 1. 随机初始化种群并评估适应度。 2. 根据公式 (3) ~ (5) 计算 $k_dQ$ 和 $H(Γ)$ 的分布特征值。 3. 通过 $H(Γ)$ 及其阈值确定探索和开发的进化模式。 4. 根据切换策略的结果，分别按照公式 (1) 和 (2) 在普通模式下迭代粒子的新解，在探索模式中使用重新初始化策略，在开发模式中使用根据公式 (6) 和 (7) 的新解生成策略。 5. 再次评估种群中每个粒子的新适应度。 6. 如果未满足停止准则，则返回步骤 3，否则退出算法。 ### 1.2 复杂度分析 由于步骤 3 中解分布特征的计算，ES - PSO 的时间复杂度和空间复杂度有所增加。但优化效率的提高导致了进化过程中迭代次数的减少。对于复杂的目标函数，其计算量大于算法本身的计算量时，由于迭代次数的减少，总计算时间可能会减少。 ### 1.3 实验设置 为了验证进化策略的性能，将 ES - PSO 与 C - PSO 进行了对比实验。测试函数如下： - F1: $\sum_{i = 1}^{N} e^{-\frac{x_i}{N}} + e^{-20e^{-\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}x_i}} - 20e^{-0.2\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}x_i^2}} - \sum_{i = 1}^{N} \cos(2\pi x_i) + 20 + e$ - F2: $\sum_{i = 1}^{n - 1} [100(x_{i + 1} - x_i^2)^2 + (x_i - 1)^2]$ 实验参数设置如下： |参数|数值| | ---- | ---- | |维度 D|20| |种群大小 N|20| |最大迭代次数 G|300| |加速常数 c1 和 c2|1.429| |惯性系数 ω|0.729| |ES - PSO 特殊参数 T1 和 T2|10| ### 1.4 实验结果分析 从实验结果的适应度对数曲线可以看出： - ES - PSO 的平均适应度在进化过程的所有迭代中都远小于 C - PSO，表明 ES - PSO 可以提高优化精度。 - 在进化过程的早期（约前 50 次迭代，适应度评估次数在 1000 次以内），ES - PSO 的收敛速度比 C - PSO 快得多，这对于一些对效率要求较高的目标函数（如实时在线优化和大量计算的图像优化）非常有利。 从粒子在某一维度 $x_d$ 的振荡曲线可以看出，在 C - PSO 的进化过程中，经过一些迭代后粒子几乎静止，而在 ES - PSO 的进化过程结束时，粒子仍然活跃，说明 ES - PSO 种群的多样性更丰富，逃离局部极值的概率更高。 下面是 ES - PSO 算法流程的 mermaid 流程图： ```mermaid graph TD; A[随机初始化种群并评估适应度] --> B[计算分布特征值]; B --> C[确定进化模式]; C --> D[迭代新解]; D --> E[评估新适应度]; E --> F{是否满足停止准则}; F -- 否 --> C; F -- 是 --> G[退出算法]; ``` ## 2. 粒子群优化算法的非线性加速系数调整 ### 2.1 研究背景 粒子群优化算法（PSO）广泛应用于各种优化问题。自 PSO 提出以来，大量研究集中在对加速系数（包括认知分量和社会分量）的选择上。认知分量使粒子向自身找到的最佳位置移动，代表每个粒子的个体经验；社会分量代表粒子的协作效应，将粒子拉向全局最佳粒子。 在以往的研究中，认知分量 $c_1$ 和社会分量 $c_2$ 通常线性变化。与非线性惯性权重相比，非线性认知分量和社会分量受到的关注较少。虽然一些策略的性能令人印象深刻，但仍有一些问题不清楚，如线性参数变化的 PSO 虽能取得较好结果，但对非线性认知和社会分量缺乏详细分析；如何平衡收敛速度和优化精度也较难分析。 ### 2.2 标准 PSO 算法 标准 PSO（STDPSO）中，每个粒子由位置 $x$ 和速度 $v$ 表征，粒子能够记忆个人最佳位置 $x_p$ 和全局最佳位置 $x_g$。速度和位置更新规则如下： - 速度更新： $v_{id}(t + 1) = \omega v_{id}(t) + c_1r(t)(x_{pd}(t) - x_{id}(t)) + c_2R(t)(x_{gd}(t) - x_{id}(t))$ - 位置更新： $x_{id}(t + 1) = x_{id}(t) + v_{id}(t + 1)$ 其中，$t$ 表示第 $t$ 次迭代，$i$ 表示第 $i$ 个粒子，$d$ 表示第 $d$ 个维度，$M$