二叉树与红黑树知识详解

### 二叉树与红黑树知识详解 #### 1. 哈夫曼编码与消息编码 哈夫曼编码是一种用于数据压缩的算法，其核心是构建哈夫曼树并生成对应的编码表。 - **简化字母表**：为了简化讨论，假设计算机使用的是一个仅包含 28 个大写字母的简化字母表，其中 A 编码为 0，B 编码为 1，以此类推，Z 编码为 25，空格编码为 26，换行符编码为 27。 - **编码表的创建**：编码表是一个包含 28 个单元格的数组，每个单元格的索引对应字符的数值编码，单元格的内容则是该字符的哈夫曼编码。只有在消息中出现的字符才会在编码表中有对应的编码。例如，对于 “Susie” 消息，其编码表如下： | 字符 | 编码 | | --- | --- | | A | 010 | | E | 1111 | | I | 1110 | | S | 00 | | T | 0110 | | U | 01110 | | Y | 10 | | 空格 | 01111 | | 换行符 | - | - **消息编码的生成**：对于原始消息中的每个字符，使用其编码作为索引查找编码表，然后将对应的哈夫曼编码重复追加到编码消息的末尾，直到消息编码完成。 - **哈夫曼编码的创建**：创建哈夫曼编码的过程类似于解码消息。从哈夫曼树的根节点开始，沿着每一条可能的路径到达叶子节点。在路径上，向左走记录为 0，向右走记录为 1。当到达某个字符的叶子节点时，所记录的 0 和 1 的序列就是该字符的哈夫曼编码。这个过程可以通过一个递归方法来实现，从根节点开始，对每个子节点递归调用该方法，最终探索到所有叶子节点的路径，完成编码表的创建。 #### 2. 二叉树的基本概念 - **树的结构**：树由节点（用圆圈表示）和边（用线表示）组成。根节点是树的最顶层节点，没有父节点。 - **二叉树的特点**：在二叉树中，每个节点最多有两个子节点。在二叉搜索树中，节点 A 的所有左子节点的键值都小于 A，所有右子节点的键值都大于（或等于）A。 - **树的操作效率**：树的搜索、插入和删除操作的时间复杂度为 O(log N)。 - **节点和边的表示**：节点代表存储在树中的数据对象，边通常在程序中通过引用节点的子节点（有时也引用父节点）来表示。 - **树的遍历**：遍历树意味着按照某种顺序访问树中的所有节点。最简单的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。 - **平衡与不平衡树**：不平衡树是指根节点的左子节点数量远多于右子节点，或者反之的树。 #### 3. 二叉树的操作 - **搜索节点**：在二叉搜索树中查找节点时，需要将待查找的值与节点的键值进行比较。如果待查找的值小于节点的键值，则转向该节点的左子节点；如果大于，则转向右子节点。 - **插入节点**：插入节点需要先找到插入新节点的位置，然后修改其父节点的子节点字段，使其指向新节点。 - **删除节点**： - 当节点没有子节点时，将其父节点的子节点字段设置为 null 即可删除该节点。 - 当节点有一个子节点时，将其父节点的子节点字段指向该节点的子节点。 - 当节点有两个子节点时，需要用其后继节点替换该节点。后继节点可以通过查找以该节点的右子节点为根的子树中的最小节点来找到。 #### 4. 二叉树的应用与实验 - **编程项目**： - **项目 8.1**：从用户输入的字母字符串创建二叉树，所有包含字母的节点都是叶子节点，父节点可以包含非字母符号（如 +），确保每个父节点有两个子节点。可以先创建一个树的数组，将每个字母放入一个节点，再将这些节点放入单独的树中，最后逐步合并这些树。 - **项目 8.2**：扩展项目 8.1，创建平衡树。可以通过将每对单节点树合并成三节点树，再将每对三节点树合并成七节点树，以此类推，直到最后只剩下一棵树。 - **项目 8.3**：从用户输入的字符创建完全树，即除了底层最右侧可能不满外，其他层都完全填满。可以从顶层开始，按照从上到下、从左到右的顺序排列字符。 - **项目 8.4**：将后缀表达式转换为树，修改相关类，生成树后进行遍历可得到代数表达式的前缀、中缀和后缀形式，中缀形式需要添加括号以避免歧义。 - **项目 8.5**：实现哈夫曼编码和解码程序，包括接受文本消息、创建哈夫曼树、创建编码表、将消息编码为二进制、将二进制消息解码为文本等功能。 - **实验**： - 使用二叉树工作坊小程序创建 20 棵树，统计严重不平衡树的百分比。 - 创建一个 UML 活动图或流程图，详细描述从二叉搜索树中删除节点的各种情况。 - 使用二叉树工作坊小程序在各种可能的情况下删除节点。 #### 5. 红黑树的引入 普通二叉搜索树在数据随机插入时表现良好，但在数据按已排序顺序（升序或降序）插入时，会变得不平衡，导致搜索、插入和删除操作的效率降低。红黑树是一种带有额外特性的二叉搜索树，用于解决普通二叉搜索树不平衡的问题。 #### 6. 红黑树的讨论方法 - **概念理解**：借助 RBTree 工作坊小程序来辅助理解红黑树的概念。通过与小程序合作插入新节点，虽然会降低插入速度，但能让用户更轻松地理解插入过程。 - **插入方法**：采用自上而下的插入方法，即在搜索插入位置的过程中，可能会对树的结构进行一些调整。另一种方法是自下而上插入，需要先找到插入位置，然后回溯调整树的结构，效率较低，因为需要对树进行两次遍历。 #### 7. 树的平衡与不平衡 在开始研究红黑树之前，回顾一下树是如何变得不平衡的。使用第 8 章的二叉树工作坊小程序，创建一个只有一个节点的树，然后按升序或降序插入一系列节点。结果会得到一个没有分支的线性树，所有节点都在根节点的一侧，树达到最大不平衡状态。如果按降序插入节点，树会在另一侧不平衡。 下面是创建普通二叉树的 mermaid 流程图： ```mermaid graph TD; A[开始] --> B[用户输入字母字符串]; B --> C[将每个字母放入节点]; C --> D[将节点放入单独的树]; ```