真值度逻辑及其相关推理详解

# 真值度逻辑及其相关推理详解 ## 1. 基本复合命题的指称真值度计算 当 \(A \subseteq U\) 且 \(B \subseteq V\) 时，原命题 \(q\) 可重写为 \(y\) 是 \(B\)，问题可简化为之前的情况。将上述命题中的 \(x\) 和 \(y\) 视为变量，可得到一组基本复合命题的指称真值度计算公式： - \(t(p \land q) = \min\{m_A(x), m_B(y)\}\) - \(t(p \lor q) = \max\{m_A(x), m_B(y)\}\) - \(t(\neg p) = 1 - m_A(x)\) - \(t(p \to q) = \max\{1 - m_A(x), m_B(y)\}\) - \(t(p \leftrightarrow q) = \min\{\max\{1 - m_A(x), m_B(y)\}, \max\{m_A(x), 1 - m_B(y)\}\}\) 其中 \(x \in U\) 且 \(y \in V\)（\(U\) 和 \(V\) 可以相同）。这组公式是定义在相应测量范围上的函数，分别表示 5 种基本复合命题的指称真值度函数。以下是前三个函数的图像示例： |函数|图像示例| | ---- | ---- | | \(t(p \land q) = \min\{m_A(x), m_B(y)\}\) | 图 11.2 a | | \(t(p \lor q) = \max\{m_A(x), m_B(y)\}\) | 图 11.2 b | | \(t(p \to q) = \max\{1 - m_A(x), m_B(y)\}\) | 图 11.2 c | ### 1.1 指称真值度的间接计算模型 之前直接用隶属度定义复合命题的指称真值度，而复合命题的隶属函数也是其组成命题隶属函数 \(m_A(x)\) 和 \(m_B(y)\) 的函数，且 \(m_A(x) = t(p)\)，\(m_B(y) = t(q)\)，因此有： - \(t(p \land q) = \min\{t(p), t(q)\}\) - \(t(p \lor q) = \max\{t(p), t(q)\}\) - \(t(\neg p) = 1 - t(p)\) - \(t(p \to q) = \max\{1 - t(p), t(q)\}\) - \(t(p \leftrightarrow q) = \min\{\max\{1 - t(p), t(q)\}, \max\{t(p), 1 - t(q)\}\}\) 当已知组成命题 \(p\) 和 \(q\) 的指称真值度时，可利用这些方程间接得到相应复合命题的指称真值度。这组公式也是基本复合命题指称真值度的另一组函数，定义在相应的指称真值度范围内，其图像如图 11.3 所示。 ### 1.2 内涵真值度的间接计算模型 同理，由 \(c_A(x) = t(p)\) 和 \(c_B(y) = t(q)\)，从复合命题内涵真值度的定义表达式可推导出以下方程： - \(t(p \land q) = \min\{t(p), t(q)\}\) - \(t(p \lor q) = \max\{t(p), t(q)\}\) - \(t(\neg p) = 1 - t(p)\) - \(t(p \to q) = \max\{1 - t(p), t(q)\}\) - \(t(p \leftrightarrow q) = \min\{\max\{1 - t(p), t(q)\}, \max\{t(p), 1 - t(q)\}\}\) 这 5 个方程描述了复合命题 \(p \land q\)、\(p \lor q\)、\(\neg p\)、\(p \to q\) 和 \(p \leftrightarrow q\) 的内涵真值度与组成命题 \(p\) 和 \(q\) 的内涵真值度之间的关系。当已知 \(p\) 和 \(q\) 的内涵真值度时，可利用这些公式间接得到相应复合命题的内涵真值度。这组公式是基本复合命题内涵真值度的另一组函数，定义在相应的内涵真值度范围内，其图像如图 11.4 所示。 虽然指称真值度和内涵真值度的间接计算公式表达式相同，但二者的定义域和值域不同。指称真值度函数的定义域和值域分别为 \([0, 1] \times [0, 1]\) 和 \([0, 1]\)，而内涵真值度函数的定义域和值域分别为 \([\alpha_A, \beta_A] \times [\alpha_B, \beta_B]\)（\(\alpha_A \leq 0\)，\(1 \leq \beta_A\)；\(\alpha_B \leq 0\)，\(1 \leq \beta_B\)）和 \([\alpha, \beta]\)（\(\alpha \leq 0\)，\(1 \leq \beta\)）。 此外，上述合取和析取复合命题的真值度计算公式可推广到多于 2 个命题的情况。由否定命题的真值度计算公式 \(t(\neg p) = 1 - t(p)\)，可得 \(t(p) + t(\neg p) = 1\)，这是一对相对否定命题的真值度关系，称为真值度的互补律。 ## 2. 柔性命题的真值度范围及其对称性 所有柔性命题的指称真值度范围是实数区间 \([0, 1]\)，通常称区间 \([0, 1]\) 为柔性命题的指称真值度范围。相对否定命题的真值度互补关系表明，一对相对否定命题的真值度关于 0.5 对称，区间 \([0, 1]\) 包含了所有相对否定命题的指称真值度，且关于 0.5 对称。 接下来考察柔性命题的内涵真值度范围是何种实数区间，以及是否具有对称性。一个柔性语言值 \(A\) 确定一个柔性命题簇 \(\{A(x_0) | x_0 \in U\}\) 和一个内涵真值度范围 \([\alpha_A, \beta_A]\)（\(\alpha_A \leq 0\)，\(1 \leq \beta_A\)），\(A\) 的否定值 \(\neg A\) 也确定一个柔性命题簇 \(\{\neg A(x_0) | x_0 \in U\}\) 和一个内涵真值度范围 \([\alpha_{\neg A}, \beta_{\neg A}]\)（\(\alpha_{\neg A} \leq 0\)，\(1 \leq \beta_{\neg A}\)），则： \[ [\alpha, \beta] = [\alpha_A, \beta_A] \cup [\alpha_{\neg A}, \beta_{\neg A}] = [\min\{\alpha_A, \alpha_{\neg A}\}, \max\{\beta_A, \beta_{\neg A}\}] \] 是柔性命题簇 \(\{A(x_0) | x_0 \in U\} \cup \{\neg A(x_0) | x_0 \in U\}\) 中命题的内涵真值度范围。 对于任意 \(p \in \{A(x_0) | x_0 \in U\} \cup \{\neg A(x_0) | x_0 \in U\}\)，相应地，\(\neg p \in \{A(x_0) | x_0 \in U\} \cup \{\neg A(x_0) | x_0 \in U\}\)。由真值度的互补律可知 \(t(p) + t(\neg p) = 1\)，这表明 \(t(p)\) 和 \(t(\neg p)\) 关于 0.5 对称。由于命题 \(p\) 是任意选取的，所以真值度范围 \([\alpha, \beta]\)（\(\alpha \leq 0\)，\(1 \leq \beta\)）是一个以 0.5 为对称中心的实数区间。实际上，真值度 \(t(A(x_0))\) 和 \(t(\neg A(x_0))\) 关于 0.5 的对称源于一致性程度 \(c_A(x_0)\) 和 \(c_{\neg A}(x_0)\) 关于 0.5 的对称。 因为真值度范围 \([\alpha, \beta]\) 关于 0.5 对称，所以 \(\alpha + \beta = 1\)，即 \(\alpha = 1 - \beta\)，\(\beta = 1 - \alpha\)，因此 \([\alpha, \beta] = [1 - \beta, \beta] = [\alpha, 1 - \alpha]\)。从现在起，用 \([1 - \beta, \beta]\)（\(1 \leq \beta\)）表示内涵真值度范围。 真值度范围关于 0.5 对称的特性保证了真值度 \(t(\neg p) = 1 - t(p)\) 总是可计算的，即真值度范围在真值度的否定运算（后续定义）下是封闭的。 ## 3. 代数复合柔性命题/具有合成语言值的柔性命题及其真值度计算模型 之前提到的复合柔性命题是用连接词“和”与“或”形成的普通复合柔性命题，此外，还有用“加”形成的复合柔性命题，例如“他有天赋加他勤奋”就是这样的复合柔性命题。考虑到这种复合柔性命题的组成命题之间的关系不是逻辑合取或析取，而是代数合成，称这种复合柔性命题为代数复合柔性命题。为区分起见，称普通复合柔性命题为逻辑复合柔性命题。 在日常语言中，人们有时也用连接词“和”而非严格的“加”来描述代数复合柔性命题，例如将原“\(A(x_0)\) 加 \(B(y_0)\)”表述为“\(A(x_0)\) 和 \(B(y_0)\)”。仍用 \(\oplus\) 表示“加”，则一般地，“\(A(x_0)\) 加 \(B(y_0)\)”可符号化为“\(A(x_0) \oplus B(y_0)\)”。 设 \(A_1(x_{10}) \oplus A_2(x_{20}) \oplus \cdots \oplus A_n(x_{n0})\) 是