量子比特、量子测量与量子逻辑门

# 量子比特、量子测量与量子逻辑门 ## 1. 单量子比特——量子比特与量子比特的叠加态 量子比特是量子计算和信息的最基本单位，可看作经典比特的量子等价物。经典比特只能处于 0 或 1 两种状态，分别代表电压的开和关，且在任一时刻只能处于其中一种状态。而量子比特可以处于既不是 0 也不是 1 的状态，而是两者的复杂线性组合。 从数学角度，量子比特用列向量表示，向量的维度代表量子比特可能处于的状态数量。一个量子比特有两种状态，两个量子比特有四种可能状态，N 个量子比特则有 2^N 种状态，且这些状态可以同时存在。量子比特代表能量状态，即基态和激发态，为简化电路计算，我们用二进制值 0 和 1 分别表示基态和激发态。与经典计算机不同，量子计算机本质上是并行的，所有计算默认并行进行。 ### 1.1 Bra - Ket 符号 Bra - Ket 符号（也称为狄拉克符号）使用尖括号 < > 和竖线 | 来表示量子比特。0 量子比特可写为 |0 >（称为 ket 0），1 可写为 |1 >（称为 ket 1）。相应地，bra 0 和 bra 1 可写为 < 0| 和 < 1|，分别表示 ket 0 和 ket 1 的共轭转置。 ket 表示如下： |0 > = [1 0] 且 |1 > = [0 1] bra 表示如下： < 0| = [1 0] 且 < 1| = [0 1] 若状态包含复数值，bra 将是 ket 的复共轭。例如，定义一个复 ket 状态： |𝑎𝑎> = [ 1 - 𝑖𝑖 10 + 𝑖𝑖] 则其 bra 为： < 𝑎𝑎| = [1 + 𝑖𝑖 10 - 𝑖𝑖] 符号 <a|b> 给出两个量子态的内积，是一个标量值；符号 |a><b| 给出两个量子态的外积，是一个矩阵。量子比特的各种状态存在于一个称为希尔伯特空间的复向量空间中，这在量子计算领域具有重要意义。 一般来说，量子态通常用 |𝜓𝜓>（读作 ket psi）表示，它可以代表一个量子比特或多维量子比特，也可以表示叠加量子态。 ### 1.2 量子比特的叠加态 量子比特以复杂线性组合的形式同时存在于多个状态，这种现象称为叠加态，是量子计算区别于经典计算的关键特性之一，也是量子计算强大计算能力的基础。叠加态使量子计算机能够并行执行计算任务，无需像使用图形处理单元（GPU）那样构建单独的并行架构。 通用叠加量子态定义如下： |𝜓𝜓> = 𝛼𝛼|0 > + 𝛽𝛽|1 > 其中 𝛼𝛼 和 𝛽𝛽 是复数，称为概率振幅。当量子比特处于叠加态时，|0 > 状态和 |1 > 状态都有一定的出现概率。通过取与量子比特相关的概率振幅值的模（绝对值）并平方来计算概率。即 |𝛼𝛼|² 给出找到状态 |0 > 的概率，|𝛽𝛽|² 给出找到状态 |1 > 的概率，且 |𝛼𝛼|² + |𝛽𝛽|² = 1。 在许多量子算法（如 Grover 算法）中，哈达玛门用于创建量子比特的等叠加态。 ## 2. 不同基下的量子比特表示 |0> 和 |1> 是正交归一态，它们是单位长度且相互正交的，是构建其他量子态的最基本状态，因此被称为正交归一基态。这些状态也是线性独立的，任何其他状态都可以由 |0> 和 |1> 状态的线性组合形成。 ### 2.1 布洛赫球表示 布洛赫球是量子比特的三维几何表示，有助于可视化量子比特可能的量子态。它的半径为 1，使用向量符号表示量子态，但仅适用于单个量子比特，因为多个量子比特会超出绘图维度。 单个量子比特的量子态在布洛赫球中用以下方程表示： |𝜓𝜓> = 𝛼𝛼|0 > + 𝛽𝛽|1 > = cos(𝜃𝜃/2) |0 > + 𝑒^(𝑖𝜑)sin(𝜃𝜃/2) |1 >