医学成像原理：采样、傅里叶变换与图像重建

### 医学成像原理：采样、傅里叶变换与图像重建 #### 1. 采样原理 医学中的断层成像依靠数字计算机来收集数据、重建图像以及去除伪影和噪声。图像数据以离散样本的形式收集，这对傅里叶方法的使用产生了一定限制。 以池塘实验为例，池塘波浪的照片看似提供了连续的高分辨率图像，但实际上在显微镜下，照片由离散的银粒阵列组成。计算机处理的是代表图像对比度特征的数字阵列。为了将照片转换为数字图像，可以在图像上施加网格，统计每个网格内变黑银粒的数量，这些数字构成了数字图像。 图像数字化通常不经过照片这一中间步骤，而是使用较少的记录器或探测器对真实场景进行采样。在池塘实验中，可以用一组规则排列的测量杆来记录波浪模式，每根杆提供当地水位变化的样本。这些杆的输出经数字化编码后，可在计算机中组合成二维图像。 然而，测量杆成本较高，因此希望使用尽可能少的杆。这就引出了两个关键问题：最少需要多少根杆？选择的采样网格大小会使图像丢失哪些信息？ 离散傅里叶分析可以解决这些问题。采样定理指出，测量杆的间距不能超过池塘中可能重要的最小波长（最高空间频率）的 1/2。实际应用中，为了处理水位随机变化产生的噪声，通常使用约 1/5 或 1/10 该值的间距。如果选择 1/2 波长的间距，在理想条件下只能重建波浪模式的基本部分，小于该间距的特征将丢失。若使用更粗的网格，会出现混叠问题，即离散样本的包络会代表原连续信号中不存在的波。 为避免混叠问题，信号处理中常采用滤波方法。例如，对语音信号进行数字化时，需在数字化前对连续信号进行大量滤波，去除高于 8kHz 的所有波分量。 在断层医学图像重建中，采样同样重要。在 X 射线 CT 中，探测器的宽度限制了图像的最终空间分辨率，同时要确保收集足够的投影以精细采样 K 空间。在 MRI 中，信号必须在时间上进行足够精细的采样，采样率至少为信号中最高时间频率的两倍。 #### 2. 快速傅里叶变换（FFT） 傅里叶方法在科学和工程领域已应用了一百多年，但直到近四十年才变得普遍。这主要归功于 1960 年发明的快速傅里叶变换（FFT）。FFT 不是一种新的变换，而是计算采样数据离散傅里叶变换的高效方法。 假设我们有一个包含约 1000 个点的数字化记录，计算其傅里叶变换需要在 1000 个时间点计算正弦（或余弦）函数，将每个值与相应的数据点相乘，然后将 1000 个结果项相加，这只能得到一个频率的傅里叶振幅。对于每个频率，都需要重复这一过程。传统方法计算 N 个数据点的完整一维傅里叶变换所需的计算次数与 N×N 成正比，随着 N 的增加，计算时间会变得很长。二维傅里叶变换的情况更糟。 而通过巧妙组织计算，一维变换只需 N log(N) 次操作。对于 1000 个点，计算时间可减少约 300 倍。不同的 FFT 算法都基于相同的思想：存在许多相同的中间乘法，这些乘法只需要计算一次，存储起来并在整个计算过程中重复使用。 FFT 的发明通常归功于库利和图基，但高斯在 1805 年就使用了类似方法。尽管 FFT 在 1960 年才被重新发现，但直到那时数字计算才足够普及，使其在广泛的应用中产生重大影响。如今，几乎所有数字医学图像的生成都会使用 FFT，无论是在断层重建、滤波还是相关分析中。 #### 3. 去除噪声图像或图像处理 傅里叶变换不仅可用于断层图像重建，还常用于修改和增强现有图像。仍以池塘实验为例，若在实验当天起了大风，池塘表面布满随机涟漪，可使用傅里叶滤波方法清理图像。 具体操作步骤如下： 1. 拍摄几张有涟漪的池塘照片。 2. 按计划进行实验。 3.