状态空间模型相关知识解析

### 状态空间模型相关知识解析 #### 1. 状态空间模型基础 状态空间模型是描述系统动态特性的重要工具。在状态空间模型中，$\boldsymbol{x}(t) \in \mathbb{R}^n$ 表示状态向量，它收集了 $n$ 个状态变量，状态向量的维度被称为系统的阶数。$\boldsymbol{u}(t) \in \mathbb{R}^m$ 是输入向量，它包含了控制输入变量以及干扰变量。$\boldsymbol{y}(t) \in \mathbb{R}^p$ 是输出向量，收集了系统上的 $p$ 个测量变量。 向量场 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}(t), \boldsymbol{u}(t))$ 是演化函数，它给出了状态向量的速度，是状态 $\boldsymbol{x}$ 和输入 $\boldsymbol{u}$ 的函数。向量场 $\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x}(t), \boldsymbol{u}(t))$ 是输出函数，依赖于 $\boldsymbol{x}$ 和 $\boldsymbol{u}$。如果函数 $\boldsymbol{f}$ 和 $\boldsymbol{h}$ 不明确依赖于时间 $t$，则状态空间模型是时不变的。 当函数 $\boldsymbol{f}$ 和 $\boldsymbol{h}$ 关于 $\boldsymbol{x}$ 和 $\boldsymbol{u}$ 是线性的时，系统是线性的。线性状态空间模型可以写成如下形式： \[ \begin{cases} \dot{\boldsymbol{x}}(t) = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}(t), \boldsymbol{u}(t)) = \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t) + \boldsymbol{B}\boldsymbol{u}(t) \\ \boldsymbol{y}(t) = \boldsymbol{h}(\boldsymbol{x}(t), \boldsymbol{u}(t)) = \boldsymbol{C}\boldsymbol{x}(t) + \boldsymbol{D}\boldsymbol{u}(t) \end{cases} \] 其中，$\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C},$ 和 $\boldsymbol{D}$ 是常数矩阵，因此该系统被称为线性时不变（LTI）系统。矩阵 $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{n\times n}$ 是演化矩阵，$\boldsymbol{B} \in \mathbb{R}^{n\times m}$ 是输入矩阵，$\boldsymbol{C} \in \mathbb{R}^{p\times n}$ 是输出矩阵，$\boldsymbol{D} \in \mathbb{R}^{p\times m}$ 是直接输入 - 输出传输矩阵。通常，$\boldsymbol{D} = 0$，因为输入向量不会立即影响输出。但在某些情况下，由于系统的快速动态相对于慢速动态被忽略，可能会有 $\boldsymbol{D} \neq 0$。 #### 2. 状态空间模型的线性化 在许多应用中，物理系统通常围绕给定的平衡点（或工作点）演化。因此，可以通过考虑变量在平衡点附近的小变化来对非线性状态空间模型进行线性化。 一个由状态方程 $\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{u})$ 表示的物理系统，如果其状态不随时间变化，则处于静止状态。在这种情况下，状态向量的时间导数为零（$\dot{\boldsymbol{x}}(t) = 0$）。我们将系统的静止状态称为平衡点，它们是 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_o, \boldsymbol{u}_o) = 0$ 的解，其中下标零表示它们是平衡时的量。系统的平衡点集合 $\boldsymbol{E}$ 定义为： \[ \boldsymbol{E} = \{(\boldsymbol{x}_o, \boldsymbol{u}_o) \in \mathbb{R}^{n+m} : \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_o, \boldsymbol{u}_o) = 0\} \] 例如，系统（4.3）的平衡点集合为： \[ \boldsymbol{E} = \{(h_0, q_{e0}, u_0) \in \mathbb{R}^3 : q_{e0} = k\sqrt{2gh_0}u_0\} \] ##### 2.1 围绕平衡点的线性化 设 $(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{u}_0) \in \boldsymbol{E}$ 是系统的一个平衡点。为了对状态模型进行线性化，我们考虑围绕 $\boldsymbol{x}_0$ 和 $\boldsymbol{u}_0$ 的小变化 $\delta\boldsymbol{x}$ 和 $\delta\boldsymbol{u}$。因此，我们可以写成 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}_0 + \delta\boldsymbol{x}$ 和 $\boldsymbol{u} = \boldsymbol{u}_0 + \delta\boldsymbol{u}$。状态模型可以写成： \[ \begin{cases} \dot{\boldsymbol{x}} = \dot{\boldsymbol{x}}_0 + \delta\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0 + \delta\boldsymbol{x}, \boldsymbol{u}_0 + \delta\boldsymbol{u}) \\ \boldsymbol{y} = \boldsymbol{h}(\boldsymbol{x}_0 + \delta\boldsymbol{x}, \boldsymbol{u}_0 + \delta\boldsymbol{u}) \end{cases} \] 由于 $\boldsymbol{x}_0$ 是常数向量，$\dot{\boldsymbol{x}}_0 = 0$。使用函数 $\boldsymbol{f}$ 和 $\boldsymbol{h}$ 的一阶泰勒展开，我们得到： \[ \begin{cases} \delta\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{u}_0) + \left(\frac{\partial\boldsymbol{f}}{\partial\boldsymbol{x}}\right)_0\delta\boldsymbol{x} + \left(\frac{\partial\boldsymbol{f}}{\partial\boldsymbol{u}}\right)_0\delta\boldsymbol{u} \\ \boldsymbol{y} = \boldsymbol{h}(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{u}_0) + \left(\frac{\partial\boldsymbol{h}}{\partial\boldsymbol{x}}\right)_0\delta\boldsymbol{x} + \left(\frac{\partial\boldsymbol{h}}{\partial\boldsymbol{u}}\right)_0\delta\boldsymbol{u} \end{cases} \] 根据平衡点的定义，$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_o, \boldsymbol{u}_o) = 0$，$\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x}_o, \boldsymbol{u}_o)$ 表示平衡点处的输出向量，记为 $\boldsymbol{y}_o$。线性化模型可以写成： \[ \begin{cases} \delta\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{u}_0)\delta\boldsymbol{x} + \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{u}_0)\delta\boldsymbol{u} \\ \delta\boldsymbol{y} = \boldsymbol{C}(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{u}_0)\delta\boldsymbol{x} + \boldsymbol{D}(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{u}_0)\delta\boldsymbol{u} \end{cases} \] 其中，$\delta\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_0$，$\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{u} - \boldsymbol{u}_0$，$\delta\boldsymbol{y} = \boldsymbol{y} - \boldsymbol{y}_0$。矩阵 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{u}_0) = \left(\frac{\partial\boldsymbo