矩阵数学基础与运算详解

### 矩阵数学基础与运算详解 在图形渲染和游戏开发领域，矩阵数学是一项至关重要的技术。它不仅能帮助我们实现图像的旋转、缩放和平移等操作，还在顶点着色器编程中发挥着核心作用。下面将详细介绍矩阵数学的基础知识和常见运算。 #### 1. 坐标系统 在渲染图像时，通常会使用两种主要的坐标系：左手三维笛卡尔坐标系和右手三维笛卡尔坐标系。 - **左手坐标系**：将左手手臂沿 x 轴放置，手位于坐标轴交点，水平伸出的拇指指向 z+ 方向。这种坐标系的 z 轴正方向朝向地平线，常用于游戏系统图形包，如 Direct3D。 - **右手坐标系**：用右手做同样的动作，拇指指向 z 轴方向。其 z 轴值随着接近观察者而增加，更符合高性能图形库和标准数学约定。 此外，还有一些变体，其中 z 轴表示高度信息，常用于一些艺术渲染程序，如 3D Studio Max。 #### 2. 向量与矩阵基础 - **向量**：典型的 3D 坐标包含在一个 {XYZ} 的 1x3 列向量中。当扩展到四维元素形成 {XYZW} 的 1x4 列向量时，{W} 元素通常设为 1。需要注意的是，单位向量的 {XYZW} 为 {0,0,0,1}。在处理平移时，第四行包含平移（位移）信息，{W} 元素中的 1 使其能作为解决方案的一部分进行处理。 - **矩阵**：矩阵用于封装从简单到复杂的数学表达式，可应用于标量、向量或另一个矩阵。通过将乘积、逆运算和求和表达式组合成一个矩阵，可以减少整体计算量。常见的矩阵操作包括旋转、缩放和平移向量等。 #### 3. 矩阵类型与表示 在实际应用中，主要使用两种类型的矩阵：4x4 矩阵和 1x4 矩阵（用于表示向量）。 - **4x4 矩阵**： ``` A = [ [a11, a12, a13, a14], [a21, a22, a23, a24], [a31, a32, a33, a34], [a41, a42, a43, a44] ] ``` - **1x4 向量矩阵**： ``` v = [v1, v2, v3, v4] ``` DirectX 使用基本的 4x4 矩阵，有两种实现方式：一种基于 1 索引的结构，如 A._23；另一种是二维浮点数组，如 A.m[1][2]。为了保持代码风格的一致性，建议在编程时只使用一种访问方式。 矩阵在内存中是线性排列的，有时需要将其作为 1x16 的浮点数组进行访问。以下是几种常见的实现方法： ```c fpAry = (float*)&mtxA; fpAry = &mtxA.m[0][0]; fpAry = &mtxA._11; ``` 此外，还有一个更通用的矩阵类 D3DXMATRIX，它继承自 D3DMATRIX，并提供了丰富的操作符重载和构造函数。在使用 DirectX SDK 时，如果 Visual C++ 编译器版本为 7.0 或更高，或者版本 6 并安装了适当的服务包和处理器包升级，可以使用 D3DXMATRIXA16，它采用 16 字节对齐，能优化 Direct3D 函数的性能。 #### 4. 矩阵运算 - **矩阵复制**：矩阵复制是将源矩阵的每个元素复制到目标矩阵的对应位置。在顶点着色器中，可以通过复制每一行来实现；在 C++ 中，直接使用赋值操作符即可。 - **顶点着色器代码**： ``` mov r0, c0 // row a11...a14 mov r1, c1 // a21...a24 mov r2, c2 // a31...a34 mov r3, c3 // a41...a44 ``` - **C++ 代码**： ```c D3DMATRIX mtxA, mtxB; mtxA = mtxB; ``` - **矩阵求和**：两个相同大小矩阵的求和非常简单，只需将对应元素相加，并将结果存储在目标矩阵的相同索引位置。矩阵求和满足加法交换律（A + B = B + A）和结合律（A + (B + C) = (A + B) + C）。 - **顶点着色器代码**： ``` add r4, r0, c0 add r5, r1, c1 add r6, r2, c2 add r7, r3, c3 ``` - **C++ 代码**： ```c void Func(D3DMATRIX &mtxD, D3DMATRIX &mtxA, D3DMATRIX &mtxB) { mtxD.m[0][0] = mtxA.m[0][0] + mtxB.m[0][0]; mtxD.m[0][1] = mtxA.m[0][1] + mtxB.m[0][1]; // ... mtxD.m[3][2] = mtxA.m[3][2] + mtxB.m[3][2]; mtxD.m[3][3] = mtxA.m[3][3] + mtxB.m[3][3]; } ``` - **标量矩阵乘积**：标量矩阵乘积是将一个标量应用于矩阵的每个元素，并将结果存储在相同大小的矩阵中。 - **顶点着色器代码**： ``` mul r4, r0, c0.x mul r5, r1, c0.x mul r6, r2, c0.x mul r7, r3, c0.x ``` - **C++ 代码**： ```c void Func(D3DMATRIX &mtxD, D3DMATRIX &mtxA, float r) { mtxD.m[0][0] = mtxA.m[0][0] * ```