物联网中的能量收集与模型预测控制

# 物联网中的能量收集与模型预测控制 ## 1. 状态空间模型基础 在模型预测控制（MPC）中，状态空间模型是核心概念之一。连续时间的状态空间模型可以表示为： $\dot{x}(t) = A_cx(t) + B_cu(t)$ $y(t) = C_cx(t) + D_cu(t)$ 其中，$\dot{x}(t)$ 是状态变量的导数，$x(t)$ 是状态向量，$u(t)$ 是控制输入，$y(t)$ 是系统输出，$A_c$、$B_c$、$C_c$ 和 $D_c$ 是相应的矩阵。 ### 1.1 状态空间模型的求解 考虑标量情况的状态空间模型 $\dot{x}(t) - A_cx(t) = B_cu(t)$，通过乘以 $exp(-A_ct)$ 并积分，可以得到状态方程的解： $x(t) = exp(A_c(t - t_0))x(t_0) + \int_{t_0}^{t} exp(A_c(t - \tau))B_cu(\tau) d\tau$ 对于矩阵情况，该解同样适用。 ### 1.2 连续到离散状态空间模型的转换 通过采样保持电路，将连续时间信号转换为离散时间信号。令 $t_0 = kh$ 和 $t = (k + 1)h$，可以得到离散状态空间模型： $x(k + 1) = A_dx(k) + B_du(k)$ $y(k) = Cx(k) + Du(k)$ 其中，$A_d = exp(A_ch)$，$B_d = \int_{0}^{h} exp(A_c\alpha)B_c d\alpha$。 下面通过一个例子来说明如何将连续状态空间模型转换为离散状态空间模型。 已知 $A_c = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$，$B_c = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$，$C = \begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}$，$D$ 是零矩阵，$h = 0.1$。 - **第一种方法：泰勒级数近似** $A_d = exp(A_ch) = I + A_ch + \frac{A_c^2h^2}{2!} + \cdots$ 使用一阶项，可得 $A_d = \begin{bmatrix}1 & 0.1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$。 - **第二种方法：逆拉普拉斯变换** 先计算 $(sI - A_c) = \begin{bmatrix}s & -1 \\ 0 & s\end{bmatrix}$，其逆矩阵为 $(sI - A_c)^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{s} & \frac{1}{s^2} \\ 0 & \frac{1}{s}\end{bmatrix}$。 则 $exp(A_ct) = \begin{bmatrix}1 & t \\ 0 & 1\end{bmatrix}u(t)$，所以 $A_d = exp(A_ch) = \begin{bmatrix}1 & 0.1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$。 对于 $B_d$，$B_d = \int_{0}^{h} exp(A_c\beta) d\beta B_c = \begin{bmatrix}\frac{h^2}{2} \\ h\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.005 \\ 0.1\end{bmatrix}$。 ## 2. 离散时间 MPC 离散时间 MPC 基于离散状态空间模型 $x(k + 1) = A_dx(k) + B_du(k)$。通过引入后向差分算子 $\Delta x(k + 1) = x(k + 1) - x(k)$ 和 $\Delta u(k) = u(k) - u(k - 1)$，可以得到： $\Delta x(k + 1) = A_d\Delta x(k) + B_d\Delta u(k)$ $\Delta y(k + 1) = C\Delta x(k + 1)$ 进一步可以将状态空间模型表示为： $\begin{bmatrix}\Delta x(k + 1) \\ y(k + 1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A_d & 0 \\ C A_d & I\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\Delta x(k) \\ y(k)\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}B_d \\ C B_d\end{bmatrix} \Delta u(k)$ $y(k) = \begin{bmatrix}0 & I\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\Delta x(k) \\ y(k)\end{bmatrix}$ 给定 $x'(k)$，可以预测未来 $N_p$ 个时刻的状态向量和输出。预测状态向量和输出可以用矩阵形式表示： $Y = Fx'(k) + H\Delta U$ 其中，$Y$ 是预测输出矩阵，$F$ 是状态转移矩阵，$H$ 是控制输入矩阵，$\Delta U$ 是控制输入变化矩阵。 ### 2.1 无约束 MPC 示例 考虑离散状态空间模型 $A_d = \begin{bmatrix}0.9752 & -0.2970 \\ 0.0990 & 0.9851\end{bmatrix}$，$B_d = \begin{bmatrix}0.099 \\ 0.005\end{bmatrix}$，$C = \begin{bmatrix}0 & 10\end{bmatrix}$，$N_p = 3$。 计算得到： $A_d' = \begin{bmatrix}A_d & 0 \\ C A_d & I\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.9752 & -0.2970 & 0 \\ 0.0990 & 0.9851 & 0 \\ 0.9900 & 9.8510 & 1\end{bmatrix}$ $B_d' = \begin{bmatrix}B_d \\ C B_d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.099 \\ 0.005 \\ 0.050\end{bmatrix}$ $C' = \begin{bmatrix}0 & I\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ $F = \begin{bmatrix}C'A_d \\ C'A_d^2 \\ C'A_d^3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.99 & 9.8510 & 1 \\ 2.9307 & 19.2610 & 1 \\ 5.7548 & 27.9545 & 1\end{bmatrix}$ $H = \begin{bmatrix}C'B_d & 0 & 0 \\ C'A_dB_d & C'B_d & 0 \\ C'A_d^2B_d & C'A_dB_d & C'B_d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0.0497 & 0 & 0 \\ 0.1970 & 0.0497 & 0 \\ 0.4361 & 0.1970 & 0.0497\end{bmatrix}$ 假设期望信号 $s = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}$，$W_1 = I_3$，$W_2 = 0.01I_3$，$x'(k) = \beg