快速四倍精度算术库与双Cell架构通信操作解析

### 快速四倍精度算术库与双Cell架构通信操作解析 #### 1. 四倍精度算术运算 在高精度计算领域，四倍精度算术运算有着重要的应用。下面将详细介绍其相关算法、优化方法及使用方式。 ##### 1.1 乘法与除法算法 - **乘法算法**：四倍精度乘法算法 `Quad - TwoProd(a, b)` 用于计算 `(pH, pL) = fl(a × b)`，其中 `(pH, pL)` 是 `p` 的一部分，`p = pH + pL`，且 `a`、`b`、`p` 均为 128 位数据类型。具体代码如下： ```plaintext Quad - TwoProd(a, b){ m1 ← aH ⊗ bL t ← aL ⊗ bH ⊕ m1 pH ← aH ⊗ bH ⊕ t e ← aH ⊗ bH ⊖ pH pL ← e ⊕ t return (pH, pL) } ``` 部分处理器具备 FMA（融合乘加）指令集，能以单次舍入误差计算 `a × b ± c` 这类表达式，避免了乘法后加法的双重舍入误差，且由于硬件实现，执行速度较快。POWER 系列处理器可处理 FMA 指令，使用该指令的四倍精度乘法运算需 8 次浮点运算（Flop）。 - **除法算法**：四倍精度除法算法 `Quad - TwoDiv(a, b)` 计算 `(qH, qL) = fl(a ÷ b)`，`(qH, qL)` 是 `q` 的一部分，`q = qH + qL`，`a`、`b`、`q` 同样为 128 位数据类型。代码如下： ```plaintext Quad - TwoDiv(a, b){ d1 ← 1.0 ⊘ bH m1 ← aH ⊗ d1 e1 ← -(bH ⊗ m1 ⊖ aH) m1 ← d1 ⊗ e1 ⊕ m1 m2 ← -(bH ⊗ m1 ⊖ aH) m2 ← aL ⊕ m2 m2 ← -(bL ⊗ m1 ⊖ m2) m3 ← d1 ⊗ m2 m2 ← -(bH ⊗ m3 ⊖ m2) m2 ← d1 ⊗ m2 ⊕ m3 qH ← m1 ⊕ m2 e2 ← m1 ⊖ qH qL ← m2 ⊕ e2 return (qH, qL) } ``` 此算法基于牛顿 - 拉夫逊方法，需 18 次 Flop 和 1 次双精度除法运算。双精度除法运算因成本较高，未包含在 Flop 定义中。该算法适用于首次双精度除法 `(1.0 ⊘ b)` 不产生特殊数值（如 NaN、INF）的常规情况。 ##### 1.2 加速与优化四倍精度算术运算 在东京大学信息技术中心的并行计算机 SR11000/J2 上对加法和乘法算法进行定量评估。从操作数量来看，加法需 11 次 Flop，乘法需 8 次 Flop，除法需 18 次 Flop 和 1 次双精度数据除法。在处理器各指令（如 fadd、fmul、fmadd）延迟时钟相同的条件下，可通过减少指令间的数据依赖来加速运算。 为实现高性能，需增加吞吐量并通过向量数据的流水线操作隐藏指令延迟，重点在于循环展开。POWER 5 + 上浮点指令（如 fadd、fmul、fsub、fabs 和 fmadd）的延迟为 6 个时钟周期，fmadd 的吞吐量为 2 个时钟周期，其他指令为 1 个时钟周期。 - **隐藏指令延迟**：通过循环展开可隐藏指令延迟，解决四倍精度算术运算的数据依赖问题。例如，对于存在数据依赖的三个指令 `{+, ×, ÷}`，可通过循环展开（展开大小为 2）来隐藏延迟： ```plaintext Problem(){ fr1 ← fr2 + fr3 fr5 ← fr1 × fr4 fr7 ← fr5 ÷ fr6 } Solution(){ fr1 ← fr2 + ```