量子态传输：双轨与多轨编码及有限资源下的策略

### 量子态传输：双轨与多轨编码及信息通量方法解析 在量子信息领域，量子态的高效、完美传输是一个关键目标。本文将深入探讨量子态传输中的双轨与多轨编码方案，以及信息通量方法在有限资源下的应用。 #### 1. 收敛定理与多轨协议 在量子链哈密顿系统中，收敛定理起着重要作用。定理 1 指出，如果量子链哈密顿量 $H$ 没有与 $|N\rangle$ 正交的本征向量，那么存在一组时间间隔 $t_q, t_{q - 1}, \cdots, t_1$，使得保真度在 $q \to \infty$ 时收敛到 1。 从直观上理解，幺正演化可以看作是抽象空间中的旋转，而测量则对应于投影。系统的动力学由交替的旋转和投影表示。一般情况下，这会使每个向量的范数降为零，除非旋转轴与投影轴相同。 证明过程中，系统在第 $(q - 1)$ 次失败后的时间间隔 $t_q$ 时的状态可以紧凑地表示为： \[|\Phi(t_q, \cdots, t_1)\rangle\rangle = \frac{U(t_q)\sigma U(t_{q - 1})\sigma \cdots U(t_1)\sigma|\Phi\rangle}{\sqrt{(1 - p_{q - 1})\cdots(1 - p_1)}}\] 其中，$U(t)$ 是系统哈密顿量生成的幺正时间演化，$\sigma$ 是投影算符。第 $q$ 步的条件成功概率为 $p_q = |\langle\langle\Psi|\Phi(t_q, \cdots, t_1)\rangle\rangle|^2$。 通过一系列推导，最终将问题转化为证明序列 $w(q)$ 在 $q \to \infty$ 时趋于零。这可以利用幂有界矩阵的性质来研究。当所有单链哈密顿量 $H$ 的本征向量 $|e_m\rangle$ 都满足 $\langle N|e_m\rangle \neq 0$ 时，就能保证存在合适的时间选择使传输成功率收敛到 1。 对于具有最近邻相互作用的量子链，定理 2 表明，如果开放最近邻量子链的哈密顿量 $H$ 能在某一时刻 $t$ 使 $f_{1,N}(t) \neq 0$（即能至少部分地将激发从 Alice 传输到 Bob），那么使用多轨协议可以使状态传输任意完美。证明采用反证法，假设存在归一化本征向量 $|e\rangle$ 满足 $\langle N|e\rangle = 0$，通过一系列推导得出矛盾。 #### 2. 多轨协议与双轨协议的比较 多轨协议原则上可以使传输速率接近 1，但在与双轨协议进行公平比较时，还需要考虑传输的时间尺度。 对于纠缠的确定性传输，只有当单链的成功概率高于 $p(t) = 0.8$ 时，使用超过三轨的编码才是值得的。因为如果单激发的成功概率为 $p$，那么在 $M$ 条平行链上 $ \lfloor M/2 \rfloor$ 个激发的成功概率会降低到 $p^{\lfloor M/2 \rfloor}$。三轨协议总是比两轨更高效，因为仍然只使用一个激发，但每次使用可以传输三个复振幅。 对于任意完美传输，情况更为复杂。假设在协议的每一步，单链的成功概率为 $p$，那么使用 $M$ 条链达到给定失败概率 $P$ 所需的步数为： \[\ell(P, M) = \max\left\{\frac{\ln P}{\ln(1 - p^{\lfloor M/2 \rfloor})}, 1\right\}\] 如果假设传输的总时间尺度与步数成正比，那么每个时间间隔可以传输的qubit 数为： \[v(P, M) \propto \frac{R(M)}{\ell(P, M)}\