振动系统建模与分析：模态矩阵、系统矩阵及响应计算

# 振动系统建模与分析：模态矩阵、系统矩阵及响应计算 ## 1. 引言 在振动系统的分析中，准确建模和计算系统响应至关重要。本文将详细介绍如何设置阻尼、定义模态矩阵和频率，构建系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵和直接传输矩阵，以及计算频率响应和阶跃响应。同时，还会探讨模型降阶的方法和效果。 ## 2. 阻尼、模态矩阵和频率的定义 ### 2.1 阻尼值输入 首先，需要输入阻尼值 `zeta`，如果未输入则使用默认值 0.02（即临界阻尼的 2%）。 ```matlab zeta = input('enter value for damping, .02 is 2% of critical (default) ... '); if (isempty(zeta)) zeta = .02; end ``` ### 2.2 模态矩阵和频率的定义 定义了三种不同的模态矩阵和频率向量： 1. **全模态模型**：使用所有模态和频率，保持原始顺序。 ```matlab xnnew = xn(:,(1:num_modes_total)); freqnew = freqvec((1:num_modes_total)); ``` 2. **未排序降阶模型**：使用前 `num_modes_used` 个模态，保持原始顺序。 ```matlab xnnew_nosort = xn(:,1:num_modes_used); freqnew_nosort = freqvec(1:num_modes_used); ``` 3. **排序降阶模型**：使用前 `num_modes_used` 个具有最高直流增益的模态。 ```matlab xnnew_sort = xn(:,index_sort(1:num_modes_used)); freqnew_sort = freqvec(index_sort(1:num_modes_used)); ``` ## 3. 系统矩阵 “a” 的设置 设置了三个状态空间系统矩阵： 1. **全模态系统矩阵 “a”**：包含所有模态，按原始顺序排列。 2. **未排序降阶系统矩阵 “a_nosort”**：具有降阶大小，模态按原始顺序排列。 3. **排序降阶系统矩阵 “a_sort”**：具有降阶数量的模态，按直流增益排序。 ### 3.1 定义变量 ```matlab % 全模态系统矩阵变量 w = freqnew*2*pi; w2 = w.^2; zw = 2*zeta*w; % 未排序降阶系统矩阵变量 w_nosort = freqnew_nosort*2*pi; w2_nosort = w_nosort.^2; zw_nosort = 2*zeta*w_nosort; % 排序降阶系统矩阵变量 w_sort = freqnew_sort*2*pi; w2_sort = w_sort.^2; zw_sort = 2*zeta*w_sort; ``` ### 3.2 定义矩阵大小 ```matlab asize = 2*num_modes_total; asize_red = 2*num_modes_used; disp(' '); disp(' '); disp(['size of system matrix a is ',num2str(asize)]); disp(['size of reduced system matrix a is ',num2str(asize_red)]); ``` ### 3.3 设置矩阵 ```matlab % 全模态系统矩阵 “a” a = zeros(asize); for col = 2:2:asize row = col-1; a(row,col) = 1; end for col = 1:2:asize row = col+1; a(row,col) = -w2((col+1)/2); end for col = 2:2:asize row = col; a(row,col) = -zw(col/2); end % 未排序降阶系统矩阵 “a_nosort” a_nosort = zeros(asize_red); for col = 2:2:asize_red row = col-1; a_nosort(row,col) = 1; end for col = 1:2:asize_red row = col+1; a_nosort(row,col) = -w2_nosort((col+1)/2); end for col = 2:2:asize_red row = col; a_nosort(row,col) = -zw_nosort(col/2); end % 排序降阶系统矩阵 “a_sort” a_sort = zeros(asize_red); for col = 2:2:asize_red row = col-1; a_sort(row,col) = 1; end for col = 1:2:asize_red row = col+1; a_sort(row,col) = -w2_sort((col+1)/2); end for col = 2:2:asize_red row = col; a_sort(row,col) = -zw_sort(col/2); end ``` ## 4. 输入矩阵 “b” 的设置 同样设置了三个输入矩阵： 1. **全模态输入矩阵 “b”** 2. **未排序降阶输入矩阵 “b_nosort”** 3. **排序降阶输入矩阵 “b_sort”** ### 4.1 计算力向量 ```matlab % 物理力向量 f_physical = zeros(numdof,1); f_physical(mid_node_row) = 1.0; % 主坐标力向量 f_principal = xnnew'*f_physical; f_principal_nosort = xnnew_nosort'*f_physical; f_principal_sort = xnnew_sort'*f_physical; ``` ### 4.2 设置输入矩阵 ```matlab % 全模态输入矩阵 “b” b = zeros(2*num_modes_total,1); for cnt = 1:num_modes_total b(2*cnt) = f_principal(cnt); end % 未排序降阶输入矩阵 “b_nosort” b_nosort = zeros(2*num_modes_used,1); for cnt = 1:num_modes_used b_nosort(2*cnt) = f_principal_nosort(cnt); end % 排序降阶输入矩阵 “b_sort” b_sort = zeros(2*num_modes_used,1); for cnt = 1:num_modes_used b_sort(2*cnt) = f_principal_sort(cnt); end ``` ## 5. 输出矩阵 “c” 和直接传输矩阵 “d” 的设置 输出矩阵 “c” 分为位移矩阵 “cdisp” 和速度矩阵 “cvel”，直接传输矩阵 “d” 为零。 ### 5.1 设置位移和速度矩阵 ```matlab % 全模态位移和速度矩阵 for col = 1:2:2*length(freqnew) for row = 1:numdof cdisp(row,col) = xnnew(row,ceil(col/2)); cvel(row,col) = 0; end end for col = 2:2:2*length(freqnew) for row = 1:numdof cdisp(row,col) = 0; cvel(row,col) = xnnew(row,col/2); end end % 未排序降阶位移和速度矩阵 for col = 1:2:2*length(freqnew_nosort) for row = 1:numdof cdisp_nosort(row,col) = xnnew_nosort(row,ceil(col/2)); cvel_nosort(row,col) = 0; end end for col = 2:2:2*length(freqnew_nosort) for row = 1:numdof cdisp_nosort(row,col) = 0; cvel_nosort(row,col) = xnnew_nosort(row,col/2); end end % 排序降阶位移和速度矩阵 for col = 1:2:2*length(freqnew_sort) for row = 1:numdof cdisp_sort(row,col) = xnnew_sort(row,ceil(col/2)); cvel_sort(row,col) = 0; end end for col = 2:2:2*length(freqnew_sort) for row = 1:numdof cdisp_sort(row,col) = 0; cvel_sort(row,col) = xnnew_sort(row,col/2); end end ``` ### 5.2 设置直接传输矩阵 ```matlab d = [0]; ``` ## 6. 频率范围、“ss” 设置和 Bode 计算 ### 6.1 定义频率向量 ```matlab freqlo = 10; freqhi = 100000; f ```