凸优化与分层风险平价在资产配置中的应用

### 凸优化与分层风险平价在资产配置中的应用 在资产配置领域，寻找有效前沿和确定最优投资组合是关键问题。本文将介绍使用凸优化和分层风险平价（HRP）算法来解决这些问题的方法，并展示如何使用相关Python库实现这些方法。 #### 1. 使用CVXPY进行凸优化寻找有效前沿 在之前的方法中，我们使用SciPy库进行数值优化来寻找有效前沿，以最小化投资组合的波动率为目标。这里，我们将问题重新表述为风险厌恶框架，投资者希望最大化风险调整后的回报。 ##### 1.1 问题重述 在风险厌恶框架下，目标是最大化以下表达式： \[ \max_{\omega} \omega^T \mu - \gamma \omega^T \Sigma \omega \] 约束条件为： \[ \sum_{i=1}^{n} \omega_i = 1, \quad \omega_i \geq 0 \] 其中，$\omega$ 是资产权重向量，$\mu$ 是资产的平均回报率向量，$\Sigma$ 是资产回报率的协方差矩阵，$\gamma$ 是风险厌恶参数。$\gamma$ 值越高，投资者越厌恶风险。 ##### 1.2 准备工作 在开始之前，需要运行之前使用蒙特卡罗模拟和SciPy优化寻找有效前沿的代码，以确保数据的一致性。 ##### 1.3 具体步骤 以下是使用CVXPY进行凸优化寻找有效前沿的具体步骤： 1. **导入库**： ```python import cvxpy as cp ``` 2. **将年化平均回报率和协方差矩阵转换为NumPy数组**： ```python avg_returns = avg_returns.values cov_mat = cov_mat.values ``` 3. **设置优化问题**： ```python weights = cp.Variable(n_assets) gamma_par = cp.Parameter(nonneg=True) portf_rtn_cvx = avg_returns @ weights portf_vol_cvx = cp.quad_form(weights, cov_mat) objective_function = cp.Maximize( portf_rtn_cvx - gamma_par * portf_vol_cvx ) problem = cp.Problem( objective_function, [cp.sum(weights) == 1, weights >= 0] ) ``` 4. **计算有效前沿**： ```python N_POINTS = 25 portf_rtn_cvx_ef = [] portf_vol_cvx_ef = [] weights_ef = [] gamma_range = np.logspace(-3, 3, num=N_POINTS) for gamma in gamma_range: gamma_par.value = gamma problem.solve() portf_vol_cvx_ef.append(cp.sqrt(portf_vol_cvx).value) portf_rtn_cvx_ef.append(portf_rtn_cvx.value) weights_ef.append(weights.value) ``` 5. **绘制不同风险厌恶参数下的资产配置**： ```python weights_df = pd.DataFrame(weights_ef, columns=ASSETS, index=np.round(gamma_range, 3)) ax = weights_df.plot(kind="bar", stacked=True) ax.set(title="Weights allocation per risk-aversion level", xlabel=r"$\gamma$", ylabel="weight") ax.legend(bbox_to_anchor=(1,1)) ``` 从图中可以看出，当风险厌恶参数 $\gamma$ 非常小时，投资者会将100%的资源分配给特斯拉；随着风险厌恶程度的增加，对特斯拉的分配逐渐减少，更多的权重分配给微软和其他资产；当 $\gamma$ 达到一定值时，对特斯拉的分配为0%。 6. **绘制有效前沿和单个资产**： ```python fig, ax = plt.subplots() ax.plot(portf_vol_cvx_ef, portf_rtn_cvx_ef, "g-") for asset_index in range(n_assets): plt.scatter(x=np.sqrt(cov_mat[asset_index, asset_index]), y=avg_returns[asset_index], marker=MARKERS[asset_index], label=ASSETS[asset_index], s=150) ax.set(title="Efficient Frontier", xlabel="Volatility", ylabel="Expected Returns") ax.legend() ``` 生成的有效前沿与使用蒙特卡罗模拟生成的前沿相似。之前我们发现仅由微软股票组成的投资组合非常接近有效前沿，现在我们可以说仅由特斯拉股票组成的投资组合也是如此。 ##### 1.4 进一步分析 - **比较两种资产配置问题的结果**：可以绘制两种有效前沿进行比较，一种是通过最小化每个预期回报水平的波动率计算得到的，另一种是使用凸优化最大化风险调整后的回报得到的。 ```python x_lim = [0.2, 0.6] y_lim = [0.4, 0.6] fig, ax = plt.subplots(1, 2) ax[0].plot(vols_range, rtns_range, "g-", linewidth=3) ax[0].set(title="Efficient Frontier - Minimized Volatility", xlabel="Volatility", ylabel="Expected Returns", xlim=x_lim, ylim=y_lim) ax[1].plot(portf_vol_cvx_ef, portf_rtn_cvx_ef, "g-", linewidth=3) ax[1].set(title="Efficient Frontier - Maximized Risk-Adjusted Return", xlabel="Volatility", ylabel="Expected Returns", ```