图像纹理建模与滤波技术解析

### 图像纹理建模与滤波技术解析 #### 1. Markov随机场模型及其局限性 GMRF模型虽然与自然图像的统计特性和热扩散方程有有趣的联系，但仍存在较大局限性。其联合像素密度是单峰高斯分布，虽能捕捉自然图像中的局部规律性，如相邻像素强度相似的趋势，但无法解释视觉模式的形成，甚至不能作为简单图像模式的概率密度模型。不过，式(3.10)中的GMRF势函数可作为众多滤波器（如梯度滤波器）之一，其联合特征可用于合成逼真图像。 #### 2. 高级模型 ##### 2.1 分层MRF模型 在实际中，我们常遇到包含多种纹理的图像，简单的MRF模型（如GMRF模型）在编码不同纹理区域边界等信息时表现力不足。例如，在某些图像中，长而直的边缘应受到惩罚，但仅像素强度无法准确反映边缘元素的存在。 Geman和Geman引入了分层MRF模型来解决最大后验（MAP）图像恢复问题。该模型将图像$I = (F, L)$建模为两个过程的MRF： - 强度过程$F$：是可观测像素强度的简单MRF。 - 线过程$L$：是不可观测边缘元素的MRF。线站点$d$定义为垂直或水平像素对之间的中点，所有线站点的集合$\mathcal{D}$是边缘元素的所有可能位置。$F(x, y)$测量像素的强度，$L(x, y)$表示特定位置边缘的有无（及方向）。线过程$L$会影响像素的邻域，若线站点存在边缘，由该线站点分隔的像素对的势为零，这两个像素的强度互不影响，它们之间的关联被打破。分层MRF的Gibbs分布定义为： \[p(\mathbf{F} = f, \mathbf{L} = l) = \frac{1}{Z} \exp\left\{-\sum_{C \in \mathcal{C}} \lambda_C(f, l)\right\}\] 分层MRF模型使我们能够分析图像中的不连续性，从而对更复杂的图像结构进行建模，并定义计算机视觉中的新任务。 ##### 2.2 Mumford - Shah模型 Mumford - Shah模型旨在将图像分割成几个简单区域，同时保持每个区域的颜色尽可能平滑。它利用Mumford - Shah能量泛函同时完成三项任务： 1. 衡量模型对观测图像的近似程度。 2. 要求模型除边界外变化缓慢。 3. 要求轮廓集尽可能短，即尽可能简单和笔直。 #### 3. 滤波器基础：相关与卷积 在介绍具体滤波器之前，我们需要了解滤波器应用于图像的基本方法，主要包括相关和卷积。 - **相关**：是一种线性滤波方法，通过滤波器获取小邻域内所有像素的加权组合。假设图像$I$定义在$N×N$晶格$\mathcal{D}$上，$\mathbf{I}(x, y) \in \mathcal{L}$是图像$I$在位置$(x, y)$的强度值，滤波器$F$定义在远小于$I$晶格的$M×M$晶格上。相关计算如下： \[\mathbf{I}(x, y) \otimes F = \sum_{(k, l)} \mathbf{I}(x + k, y + l) F(k, l)\] 其中$\otimes$表示相关，$F(k, l)$是滤波器系数。为保持图像大小，需在原始图像边界填充足够的零。 - **卷积**：是更常用的提取有意义信息的方法，定义为： \[\mathbf{I}(x, y) * F = \sum_{(k, l)} \mathbf{I}(x - k, y - l) F(k, l)\] 其中$*$表示卷积操作。卷积相当于相关操作的两个轴翻转。卷积具有结合律、交换律和分配律，这意味着如果图像需要与多个滤波器卷积，可以先将滤波器相互卷积，再应用于图像。 #### 4. 经典滤波器介绍 ##### 4.1 边缘检测滤波器 图像中的边缘由像素强度的突然变化组成，检测边缘的自然方法是检测图像中像素值的变化。 - **连续域导数表示**：在连续域中，图像像素强度的变化可以用导数表示： \[\nabla \mathbf{I} = \left[\frac{\partial \mathbf{I}}{\partial x}, \frac{\partial \mathbf{I}}{\partial y}\right]\] 水