树的逆问题：顶点条件的恢复与矩阵重建

### 树的逆问题：顶点条件的恢复与矩阵重建 在处理树结构的逆问题时，我们会遇到一些关键问题，如确定响应算子的块、恢复顶点条件以及重建确定顶点条件的酉矩阵等。下面将详细介绍这些问题的解决方法和相关理论。 #### 1. 响应算子块的关系 首先，我们有以下重要的等式关系： \[ \begin{cases} R^{\ell_i + \ell_j + \epsilon}(V^i, V^j)(t + \ell_i + \ell_j) = \hat{R}^{2\ell + \epsilon}(\hat{V}_i, \hat{V}_j)(t + 2\ell), & 0 \leq t < \epsilon \\ R^{\ell_i + \ell_j + \epsilon}(V^i, V^j)(t) = 0, & 0 \leq t < \ell_i + \ell_j \\ \hat{R}^{2\ell + \epsilon}(\hat{V}_i, \hat{V}_j)(t) = 0, & 0 \leq t < 2\ell \end{cases} \] 这组等式表明了不同响应算子块之间的联系。并且有引理指出，度量树\(T\)中任何束对应的响应算子\(R^{2(\max_{k = 1, \ldots, N - 1} \ell_k) + \epsilon}\)的块，对于任意\(0 < \epsilon < \min\{\ell, \ell_N\}\)，能确定修剪后树的响应算子\(\hat{R}^{2\ell + \epsilon}\)的相应块。 #### 2. 等边束顶点条件的恢复 假设在度量树\(T\)中选择了一个束，该束是等边的，即所有悬挂边的长度都为\(\ell\)，且束上的势恒为零。当已知与该束相关的响应算子的\((N - 1) \times (N - 1)\)块，且\(T = 2\ell + \epsilon\)（\(\epsilon > 0\)）时，对于足够小的\(\epsilon\)，响应算子的块由在根顶点\(V^0\)处连接的星图上的波动方程的解确定。 接下来，我们分步骤确定束上的解： 1. **步骤0**：由于单位传播速度，在区域\(x < \ell - t\)（\(0 < t < \ell\)）和解在\(E_N\)上对于\(t \leq \ell\)时，解恒为零。 2. **步骤1**：对于\(t \leq \ell\)，束上的解由单个行波给出，满足\(\vec{u}^*(x, t) = \vec{f}^*(t + x - \ell)\)。这个公式在三角形区域\(t - \ell < x < \ell\)（\(\ell < t < 2\ell\)）也成立。 3. **步骤2**：在梯形区域\(\max\{\ell, t - \ell - \epsilon\} < x < \min\{t - \ell, 3\ell - t\}\)，解包含由控制函数生成的行波和从根顶点反射的波，即\(\vec{u}^*(x, t) = \vec{f}^*(t + x - \ell) + \vec{a}^*(t - x)\)。为了确定\(\vec{a}^*\)，我们将相关公式代入顶点条件，得到一个积分方程： \[ \vec{a}(t) = (I - 2P^{-1})\vec{f}(t - \ell) - 2A\int_{\ell}^{t} e^{-A(t - \tau)}(I - P^{-1})\vec{f}(\tau - \ell)d\tau + \int_{\ell}^{t} e^{-A(t - \tau)}\left(\int_{\ell}^{\tau} r_N'(\tau - s)u_N(0, s)ds\right)(I - P^{-1})\vec{e}_N d\tau \] 这个方程是第二类Volterra方程，可以通过迭代求解，得到解公式： \[ \vec{a}(t) = S_v(\infty)\vec{f}^*(t - \ell) - 2A\int_{\ell}^{t} e^{-A(t - \tau)}(I - P^{-1})\vec{f}^*(\tau - \ell)d\tau + \int_{\ell}^{t} H(t, \tau)\vec{f}^*(\tau - \ell)d\tau \] 其中\(H(t, \tau)\)是连续矩阵核，在\(\tau \leq t\)区域恒为零。此时，控制问题在束上的解可以表示为： \[ Pu(x, t) = \vec{f}^*(t + x - \ell) + PS_v(\infty)\vec{f}^*(t - x - \ell) - 2PA\int_{0}^{