量子计算方法：相位估计与线性系统求解

# 量子计算方法：相位估计与线性系统求解 ## 1. 量子相位估计（QPE） ### 1.1 基本概念 量子相位估计（QPE），也称为相位估计算法（PEA），用于确定酉算子的特征值。特征值问题在数学和物理中普遍存在，例如在图论、偏微分方程、计算物理系统的基态能量以及机器学习中的主成分分析等领域都有应用。 在量子情况下，我们关注的是酉算子 \(U\) 的特征值。根据酉算子的定义 \(U^{\dagger}U = I\)，酉算子的特征值的模为 1，即 \(|\lambda| = 1\)，因此任何特征值 \(\lambda\) 都可以写成 \(\lambda = e^{2\pi i\varphi}\) 的形式，其中 \(0 \leq \varphi \leq 1\) 称为相位，这也是该算法名称的由来。 假设相位 \(\varphi\) 可以用 \(n\) 位二进制数精确表示： \(\varphi = 0.\varphi_1\varphi_2 \cdots \varphi_n\) 也可以等价地写成： \(\varphi = \sum_{k=1}^{n} \varphi_k 2^{-k}\) ### 1.2 算法原理 理解 QPE 的关键是考虑控制酉算子对特征态 \(|\psi\rangle\) 的作用。设 \(U\) 是一个酉算子，满足 \(U|\psi\rangle = \lambda|\psi\rangle\)。 首先，我们在第一个寄存器中制备等叠加态，在第二个寄存器中制备 \(U\) 的特征态： \((|0\rangle + |1\rangle) \otimes |\psi\rangle = |0\rangle|\psi\rangle + |1\rangle|\psi\rangle\) 然后，对这个状态执行受控 \(U\) 操作，得到： \(|0\rangle|\psi\rangle + |1\rangle U|\psi\rangle = |0\rangle|\psi\rangle + e^{2\pi i0.\varphi_1\cdots\varphi_n}|1\rangle|\psi\rangle = (|0\rangle + e^{2\pi i0.\varphi_1\cdots\varphi_n}|1\rangle) \otimes |\psi\rangle\) 可以看到，第二个寄存器保持不变，而第一个寄存器获得了相对相位 \(e^{2\pi i0.\varphi_1\cdots\varphi_n}\)，从而将相位信息编码到了第一个寄存器中。 接下来，我们需要对整数 \(k = 0, \cdots, n - 1\) 执行受控 \(U^{2^k}\) 操作。一般地，有 \(U^{2^k}|\psi\rangle = \lambda^{2^k}|\psi\rangle = e^{2\pi i(2^k\varphi)}|\psi\rangle = e^{2\pi i0.\varphi_{k+1}\cdots\varphi_n}|\psi\rangle\)。 经过一系列受控 \(U^{2^k}\) 操作后，顶部寄存器处于以下状态： \((|0\rangle + e^{2\pi i0.\varphi_1\cdots\varphi_n}|1\rangle) \otimes (|0\rangle + e^{2\pi i0.\varphi_2\cdots\varphi_n}|1\rangle) \otimes \cdots \otimes (|0\rangle + e^{2\pi i0.\varphi_n}|1\rangle)\) 为了从这个状态中提取相位信息，我们使用逆傅里叶变换，将其转换为乘积态： \(|\varphi_1\rangle \otimes |\varphi_2\rangle \otimes \cdots \otimes |\varphi_n\rangle\) 通过在计算基下进行测量，我们就可以得到 \(\varphi_1, \varphi_2, \cdots, \varphi_n\)，从而构建出 \(\varphi = 0.\varphi_1 \cdots \varphi_n\) 和特征值 \(\lambda = e^{2\pi i\varphi}\)。 ### 1.3 代码实现 以下是使用 Cirq 实现 QPE 的示例代码： ```python # Imports import numpy as np import cirq def binary_decimal(string): """Returns the numeric value of 0babc... where a, b, c, ... are bits. Examples: 0b10 --> 0.5 0b01 --> 0.25 """ val = 0.0 for (ind, bit) in enumerate(string[2:]): if int(bit) == 1: val += 2**(-1 - ind) return val # Number of qubits and dimension of the eigenstate m = 2 # Get a unitary matrix on two qubits xmat = np.array([[0, 1], [1, 0]]) zmat = np.array([[1, 0], [0, -1]]) unitary = np.kron(xmat, zmat) # Print it to the console print("Unitary:") print(unitary) # Diagonalize it classically evals, _ = np.linalg.eig(unitary) # Number of qubits in the readout/answer register (# bits of precision) n = 2 # Readout register regA = cirq.LineQubit.range(n) # Register for the eigenstate regB = cirq.LineQubit.range(n, n + m) # Get a circuit circ = cirq.Circuit() # Hadamard all qubits in the readout register circ.append(cirq.H.on_each(*regA)) # Get a Cirq gate for the unitary matrix ugate = cirq.ops.matrix_gates.TwoQubitMatrixGate(unitary) # Controlled version of the gate cugate = cirq.ops.ControlledGate(ugate) # Do the controlled U^{2^k} operations for k in range(n): circ.append(cugate(regA[k], *regB)**(2**k)) # Do the inverse QFT for k in range(n - 1): circ.append(cirq.H.on(regA[k])) targ = k + 1 for j in range(targ): exp = -2**(j - targ) rot = cirq.Rz(exp) crot = cirq.ControlledGate(rot) circ.append(crot(regA[j], regA[targ])) circ.append(cirq.H.on(regA[n - 1])) # Measure all qubits in the readout register circ.append(cirq.measure(*regA, key="z")) # Get a simulator sim = cirq.Simulator() # Simulate the circuit and get the most frequent measurement outcomes res = sim.run(circ, repetitions=1000) hist = res.histogram(key="z") top = hist.most_common(2) # Eigenvalues from QPE estimated = [np.exp(2j * np.pi * binary_decimal(bin(x[0]))) for x in top] # Print out the estimated eigenvalues print("\nEigenvalues from QPE:") print(set(sorted(estimated, key=lambda x: abs(x)**2))) # Print out the actual eigenvalues print("\nActual eigenvalues:") print(set(sorted(evals, key=lambda x: abs(x)**2))) ``` ### 1.4 操作步骤总结 1. 导入必要的包：`numpy` 和 `cirq`。 2. 定义一个辅助函数 `binary_decimal` 用于将二进制字符串转换为数值。 3. 定义 QPE 电路底部寄存器的量子比特数，创建酉矩阵并进行经典对角化。 4. 定义顶部寄存器的量子比特数，创建两个寄存器的量子比特。 5. 创建一个电路，并对顶部寄存器的每个量子比特应用 Hadamard 门。 6. 创建一个 Cirq 门表示酉矩阵，并创建其受控版本。 7. 执行一系列受控 \(U^{2^k}\) 操作。 8. 执行逆量子傅里叶变换，并在计算基下测量所有顶部寄存器的量子比特。 9. 运行电路，获取最频繁的测量结果，并将其转换为特征值。 10. 打印 QPE 计算的特征值和经典对角化得到的特征值。 ### 1.5 流程图 ```mermaid graph TD; A[导入必要包] --> B[定义辅助函数]; B --> C[定义量子比特数和创建酉矩阵]; C --> D[创建寄存器和电路]; D --> E[应用 Hadamard 门]; E --> F[创建受控酉门]; F --> G[执行受控 U^{2^k} 操作]; G --> H[执行逆 QFT]; H --> I[测量量子比特]; I --> J[运行电路并处理结果]; J --> K[打印特征值]; ``` ## 2. 求解线性系统 ### 2.1 经典方法与量子问题 求解 \(M\) 个方程 \(N\) 个变量的线性系统 \(Ax = b\) 在数学、科学和工程中非常常见。经典方法中，如果 \(A\) 可逆，可以通过 \(x = A^{-1}b\) 求解，但对于大型矩阵，数值计算 \(x\) 是难以处理的。 量子线性系统问题（QLSP）与经典方法类似。设 \(A\) 是一个 \(N \times N\) 的厄米矩阵，且行列式为 1，\(b\) 和 \(x\) 是 \(N\) 维向量，满足 \(x = A^{-1}b\)。定义量子态 \(|b\rangle\) 和 \(|x\rangle\)： \(|b\rangle = \frac{\sum_{i} b_i |i\rangle}{\|\sum_{i} b_i |i\rangle\|^2}\) \(|x\rangle = \frac{\sum_{i} x_i |i\rangle}{\|\sum_{i} x_i |i\rangle\|^2}\) QLSP 的目标是：给定对矩阵 \(A\) 的访问（通过一个预言机访问其元素）和量子态 \(|b\rangle\)，输出一个量子态 \(|\tilde{x}\rangle\)，使得 \(\||\tilde{x}\rangle - |x\rangle\|^2 \leq \epsilon\) 的概率大于 1/2。 ### 2.2 HHL 算法 HHL 算法是由 Harrow、Hassidim 和 Lloyd 发现的一种量子算法，用于在 \(O(\log(N)s^2\kappa^2/\epsilon)\) 时间内求解 QLSP。该算法使用三个量子比特寄存器：辅助寄存器 \(A\)、工作寄存器 \(W\) 和输入/输出寄存器 \(IO\)。 算法的初始状态为： \(|\psi_0\rangle = |0\rangle_A \otimes |0\rangle_W \otimes |b\rangle_{IO}\) 算法主要有三个步骤： 1. 以 \(W\) 寄存器为控制，对 \(IO\) 寄存