具有部分未知转移率的马尔可夫耦合神经网络的随机同步研究

# 具有部分未知转移率的马尔可夫耦合神经网络的随机同步研究 ## 1. 马尔可夫跳跃系统转移率的多种形式 在实际系统中，受网络环境和传感器节点动态的影响，网络系统可能会受到参数转换的影响，这种影响可以用马尔可夫链来描述。到目前为止，马尔可夫跳跃系统中的转移率可以分为以下几种形式： 1. **转移率完全已知**：在早期对马尔可夫系统的研究中，转移率矩阵的元素是完全已知的。 2. **转移率部分未知**：在很多实际情况中，并非所有的转移率都能被准确获取。 3. **转移率时变**：转移率会随着时间的变化而改变。 4. **转移率不确定**：转移率存在不确定性。 5. **转移率广义化**：即转移率既不确定又部分未知。 以下是对不同形式转移率相关研究的总结表格： |转移率形式|研究内容| | ---- | ---- | |完全已知|研究线性跳跃系统的随机稳定性、一般非线性随机微分方程的指数稳定性| |部分未知|研究具有部分未知转移率和时变延迟的离散时间马尔可夫线性系统的稳定性| |时变|通过提出定量原理，研究具有时变转移率的广义马尔可夫跳跃系统的稳定性并提出相应控制器| |不确定|研究具有不确定切换概率和转移概率的马尔可夫跳跃系统的鲁棒稳定性并设计鲁棒状态反馈控制器| |广义化|研究半马尔可夫跳跃系统的无源和 $H_{\infty}$ 滤波等问题| ## 2. 马尔可夫复杂网络 马尔可夫复杂网络是一类特殊的混合系统，其中有多种模式，每种模式属于某个特定的系统。以下是马尔可夫复杂网络相关研究的介绍： - **混合延迟的马尔可夫复杂网络**：提出了具有混合延迟的马尔可夫复杂网络，并基于克罗内克积和随机分析工具提出了同步准则。 - **T - S 模糊离散时间复杂网络模型**：研究了具有随机扰动的 T - S 模糊离散时间复杂网络模型的随机同步问题，并通过应用新的李雅普诺夫 - 克拉索夫斯基泛函、克罗内克积和随机理论获得了新的同步准则。 - **离散时间随机复杂网络**：研究了离散时间随机复杂网络的有界 $H_{\infty}$ 同步和状态估计问题。 - **耦合连续时间神经网络**：研究了具有马尔可夫和随机变量的耦合连续时间神经网络的同步问题，并针对具有部分未知转移率的马尔可夫复杂网络提出了有限时间同步准则。 下面是马尔可夫复杂网络部分研究的流程 mermaid 图： ```mermaid graph LR A[提出混合延迟的马尔可夫复杂网络] --> B[基于工具提出同步准则] C[研究 T - S 模糊离散时间复杂网络模型] --> D[应用方法获得同步准则] E[研究离散时间随机复杂网络] --> F[研究有界 H∞ 同步和状态估计] G[研究耦合连续时间神经网络] --> H[提出有限时间同步准则] ``` ## 3. 问题的提出与研究动机 ### 3.1 复杂网络同步研究背景 复杂动态网络已广泛应用于科学领域的许多复杂系统建模，近年来受到了众多领域研究人员的关注。同步作为复杂网络的主要集体行为，是一个重要问题，因为它可以描述许多自然现象，并且在图像处理、神经元同步和安全通信等方面有许多潜在应用。耦合神经网络作为复杂网络的一种特殊类型，也得到了广泛的研究。 ### 3.2 时间延迟的影响 在复杂网络的应用中，由于信号切换和传输速度有限，时间延迟自然存在。众所周知，时间延迟可能导致系统出现不良动态行为，如性能下降和不稳定。作为一种特殊的时间延迟，连续分布延迟受到了很多研究关注，因为神经网络有许多具有不同轴突大小和长度的并行路径。 ### 3.3 马尔可夫跳跃系统的应用 马尔可夫跳跃系统已广泛用于建模各种实际系统，这些系统会因组件故障或修复、突然的环境干扰等现象而在结构和参数上发生突变。为了反映更真实的动态行为，许多研究人员研究了具有马尔可夫跳跃或外部随机扰动的随机复杂网络的同步问题。 ### 3.4 研究的必要性 在大多数情况下，马尔可夫跳跃系统的转移率是未知的。因此，有必要进一步考虑具有部分转移率信息的更一般的跳跃系统。同时，目前对于具有随机耦合强度的马尔可夫耦合神经网络的研究还有进一步探索的空间。 ## 4. 马尔可夫耦合神经网络模型 考虑如下马尔可夫耦合神经网络模型： \(\dot{x}_k(t) = -C(r_t)x_k(t) + A(r_t)f(x_k(t)) + B(r_t)f(x_k(t - \tau(t))) + U(t)\) \(+ a_{1,r_t}(t)\sum_{l = 1}^{N}G_{kl}^{(1)}(r_t)\Gamma_1(r_t)x_l(t) + a_{2,r_t}(t)\sum_{l = 1}^{N}G_{kl}^{(2)}(r_t)\Gamma_2(r_t)x_l(t - \tau(t))\) \(+ a_{3,r_t}(t)\sum_{l = 1}^{N}G_{kl}^{(3)}(r_t)\Gamma_3(r_t)\int_{t - \tau(t)}^{t}x_l(s)ds\)，\(k = 1, 2, \cdots, N\) 其中各参数含义如下： - \(x_k(t) = [x_{k1}(t), x_{k2}(t), \cdots, x_{kn}(t)]^T \in R^n\) 是状态向量。 - \(C(r_t)\) 是具有正对角元素的对角矩阵。 - \(A(r_t) = (a_{ij}(r_t))_{n×n}\) 和 \(B(r_t) = (b_{ij}(r_t))_{n×n}\) 是连接权重矩阵。 - \(U(t) = [U_1(t), U_2(t), \cdots, U_n(t)]^T \in R^n\) 是外部输入。 - \(f(x_k(t)) = [f_1(x_{k1}(t)), f_2(x_{k2}(t)), \cdots, f_n(x_{kn}(t))]^T \in R^n\) 是节点 \(k\) 的输出。 - \(\tau(t)\) 是区间时变延迟，满足 \(0 \leq d_1 \leq \tau(t) \leq d_2\)，\(\dot{\tau}(t) \leq h\)，其中 \(d_1\)，\(d_2\)（\(d_1 < d_2\)）和 \(h\) 是已知常数。 - \(a_{1,r_t}(t)\)，\(a_{2,r_t}(t)\) 和 \(a_{3,r_t}(t)\) 是随机变量，描述随机耦合强度，且随机耦合强度相互独立，取值在一些非负区间上。 - \(\Gamma_1(r_t)\)，\(\Gamma_2(r_t)\) 和 \(\Gamma_3(r_t) \in R^{n×n}\) 表示内部耦合矩阵，描述子系统之间的内部耦合。 - \(G^{(1)}(r_t) = (G_{kl}^{(1)}(r_t))_{N×N}\)，\(G^{(2)}(r_t) = (G_{kl}^{(2)}(r_t))_{N×N}\) 和 \(G^{(3)}(r_t) = (G_{kl}^{(3)}(r_t))_{N×N}\) 是耦合配置矩阵，代表网络的拓扑结构，满足 \(G_{kl}^{(q)}(r_t) \geq 0\)（\(k \neq l\)），\(G_{kk}^{(q)}(r_t) = -\sum_{l = 1, l \neq k}^{N}G_{kl}^{(q)}(r_t)\)，\(q = 1, 2, 3\)。 ### 4.1 马尔可夫过程与转移率矩阵 设 \(\{r_t, t \geq 0\}\) 是一个在概率空间上取值于有限状态空间 \(G = \{1, 2, \cdots, N\}\) 的右连续马尔可夫过程，其生成元为 \(\Pi = (\pi_{ij})\)，\(i, j \in G\)，满足： \(Pr\{r_{t + \Delta t} = j | r_t = i\} = \begin{cases} \pi_{ij}\Delta t + o(\Delta t), & i \neq j \\ 1 + \pi_{ii}\Delta t + o(\Delta t), & i = j \end{cases}\) 其中 \(\Delta t > 0\)，\(\lim_{\Delta t \to 0}(o(\Delta t)/\Delta t) = 0\)。\(\pi_{ij} \geq 0\)（\(i \neq j\)）是从时刻 \(t\) 的模式 \(i\) 到时刻 \(t + \Delta t\) 的模式 \(j\) 的转移率，且 \(\pi_{ii} = -\sum_{j = 1, i \neq j}^{N}\pi_{ij}\)。在本文中，跳跃过程的转移率被认为是部分可获取的。例如，对于具有 \(N\) 个操作模式的系统，转移率矩阵 \(\Pi\) 可能表示为： \(\begin{pmatrix} \pi_{11} &? &? & \cdots & \pi_{1N} \\ ? & \pi_{22} &? & \cdots &? \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ ? & \pi_{N2} & \pi_{N3} & \cdots & \pi_{NN} \end{pmatrix}\) 其中“?”表示未知的转移率。为了符号清晰，对于所有 \(i \in G\)，记 \(G^i = G_k^i \cup G_{uk}^i\)，其中 \(G_k^i = \{j : \pi_{ij}\) 对于 \(j \in G\) 是已知的 \(\}\)，\(G_{uk}^i = \{j : \pi_{ij}\) 对于 \(j \in G\) 是未知的 \(\}\)。 ### 4.2 初始条件 与上述模型相关的初始条件为：\(x_k(s) = \varphi_{k0}(s) \in C([-d_2, 0], R^n)\)（\(k = 1, 2, \cdots, N\)），其中 \(d_2 = \sup_{t \in R}\tau(t)\)，\(C([-d_2, 0], R^n)\) 是从 \([-d_2, 0]\) 到 \(R^n\) 的连续函数集合。 ### 4.3 相关假设 - **假设 2.1**：对于任意 \(x_1, x_2 \in R\)，存在常数 \(e_r^-\)，\(e_r^+\) 使得 \(e_r^- \leq \frac{f_r(x_1) - f_r(x_2)}{x_1 - x_2} \leq e_r^+\)，\(r = 1, 2, \cdots, n\)。记 \(E_1 = diag(e_1^+e_1^-, \cdots, e_n^+e_n^-)\)，\(E_2 = diag(\frac{e_1^+ + e_1^-}{2}, \cdots, \frac{e_n^+ + e_n^-}{2})\)。 - **假设 2.2**：\(E\{a_{q,r_t}(t)\} = a_{q0,i}\) 和 \(E\{(a_{q,r_t}(t) - a_{q0,i})^2\} = b_{q,i}^2\) 分别是 \(a_{q,r_t}(t)\) 的数学期望和方差，其中 \(a_{q0,i}\) 和 \(b_{q,i}^2\) 是 \(q = 1, 2, 3\)，\(i \in G\) 的非负常数。 ### 4.4 定义 系统被称为在均方意义下全局渐近同步，如果对于任意初始值，\(\lim_{t \to \infty}E\{\|x_k(t) - x_l(t)\|^2\} = 0\)，\(k, l = 1, 2, \cdots, N\) 成立。 ## 5. 研究的贡献 ### 5.1 模型的提出 提出了具有马尔可夫跳跃参数和随机耦合强度的耦合神经网络模型。此外，耦合配置矩阵不限制为对称，跳跃过程的转移率被认为是部分可获取的。与以往的一些研究相比，该模型更适合实际应用。 ### 5.2 同步准则的推导 通过设计增广李雅普诺夫 - 克拉索夫斯基泛函并采用倒数凸组合技术，得到了随机同步准则。这种方法可以引入更多的松弛变量，以减轻对正矩阵的要求。 ### 5.3 同步准则的特点 得到的新的延迟相关同步准则不仅依赖于延迟的上下界，还依赖于随机耦合强度的数学期望和方差。 ## 6. 随机同步准则的推导 ### 6.1 增广李雅普诺夫 - 克拉索夫斯基泛函的设计 为了推导同步准则，设计一个增广李雅普诺夫 - 克拉索夫斯基泛函。通过引入这个泛函，可以更全面地考虑系统的动态特性和延迟因素。设增广李雅普诺夫 - 克拉索夫斯基泛函为 \(V(t)\)，它包含了系统状态、延迟状态以及一些积分项，以充分反映系统在不同时刻的信息。 ### 6.2 倒数凸组合技术的应用 采用倒数凸组合技术，该技术可以引入更多的松弛变量，从而减轻对正矩阵的要求。在推导过程中，对泛函 \(V(t)\) 求导，并利用倒数凸组合技术对求导结果进行处理，将其转化为线性矩阵不等式（LMI）的形式。 ### 6.3 同步准则的获得 经过一系列的推导和化简，最终得到新的延迟相关同步准则，该准则以 LMI 的形式呈现。这些准则不仅依赖于延迟的上下界 \(d_1\) 和 \(d_2\)，还依赖于随机耦合强度的数学期望 \(a_{q0,i}\) 和方差 \(b_{q,i}^2\)。具体的同步准则可以表示为：存在一些正定矩阵和矩阵变量，使得一系列的 LMI 成立。以下是推导过程的简单流程 mermaid 图： ```mermaid graph LR A[设计增广李雅普诺夫 - 克拉索夫斯基泛函 V(t)] --> B[对 V(t) 求导] B --> C[采用倒数凸组合技术处理求导结果] C --> D[转化为 LMI 形式] D --> E[得到延迟相关同步准则] ``` ## 7. 数值模拟 ### 7.1 模拟的目的 为了验证所提出的随机同步准则的有效性，进行数值模拟。通过具体的数值例子，可以直观地观察系统是否能够实现同步，以及同步准则的准确性。 ### 7.2 模拟的步骤 1. **确定系统参数**：根据实际情况或理论假设，确定马尔可夫耦合神经网络模型中的各种参数，如 \(C(r_t)\)、\(A(r_t)\)、\(B(r_t)\)、\(\Gamma_1(r_t)\)、\(\Gamma_2(r_t)\)、\(\Gamma_3(r_t)\)、\(G^{(1)}(r_t)\)、\(G^{(2)}(r_t)\)、\(G^{(3)}(r_t)\) 等。同时，确定随机耦合强度的数学期望和方差。 2. **设置初始条件**：根据模型的初始条件要求，设置系统的初始状态 \(x_k(s)\)，\(s \in [-d_2, 0]\)。 3. **求解 LMI**：根据推导得到的同步准则，求解相应的 LMI。可以使用专业的数学软件，如 MATLAB 中的 LMI 工具箱来求解。 4. **进行数值模拟**：利用求解得到的参数，对马尔可夫耦合神经网络模型进行数值模拟。可以使用数值积分方法，如欧拉法或龙格 - 库塔法，来求解系统的状态方程。 5. **分析模拟结果**：观察模拟结果，计算系统状态之间的差值的均方值 \(\|x_k(t) - x_l(t)\|^2\)，并验证是否满足 \(\lim_{t \to \infty}E\{\|x_k(t) - x_l(t)\|^2\} = 0\)。如果满足，则说明系统实现了同步，验证了同步准则的有效性。 以下是数值模拟步骤的表格总结： |步骤|操作内容| | ---- | ---- | |1|确定系统参数| |2|设置初始条件| |3|求解 LMI| |4|进行数值模拟| |5|分析模拟结果| ## 8. 总结 ### 8.1 研究成果总结 本文聚焦于具有部分未知转移率和随机耦合强度的马尔可夫耦合神经网络的随机同步问题。通过提出新的模型，设计增广李雅普诺夫 - 克拉索夫斯基泛函并采用倒数凸组合技术，得到了新的延迟相关同步准则。这些准则不仅考虑了延迟的影响，还考虑了随机耦合强度的数学期望和方差，具有更广泛的适用性。 ### 8.2 实际应用意义 所提出的模型和同步准则在实际应用中具有重要意义。在复杂网络的实际运行中，网络环境和节点动态会导致转移率部分未知，同时外部因素会使耦合强度随机变化。本文的研究成果可以为解决这些实际问题提供理论支持，有助于提高复杂网络的同步性能，在图像处理、神经元同步和安全通信等领域具有潜在的应用价值。 ### 8.3 未来研究展望 虽然本文取得了一定的研究成果，但仍有一些问题值得进一步研究。例如，可以考虑更复杂的网络拓扑结构和更一般的随机耦合强度分布；研究如何在实际应用中更有效地实现同步控制，降低控制成本；探索如何将本文的方法扩展到其他类型的复杂网络中。未来的研究可以围绕这些方向展开，以进一步完善和拓展相关理论和应用。