图加密算法的原理与实现

### 图加密算法的原理与实现 #### 1. 图加密基础 在图加密中，有一个重要的特性，即确保对于所有 \(1 \leq i \leq n_2\) 和 \(1 \leq j \leq n_2\)，\(W_{i,j}\) 具有相同的值。这样可以保证两个加密边权重之和等于两个原始权重之和的加密结果，用公式表示为： \((W_{i,j} \times w_{i,j}) + (W_{j,k} \times w_{j,k}) = W_{i,j} \times (w_{i,j} + w_{j,k})\) 即使敌人知道在加密图中计算最短路径能揭示明文图中的最短路径，但他们无法得知最短路径的真实总权重，也无法确定该路径上未加密顶点的真实身份。在某些情况下，可以通过在不可信数据库中计算并存储图 \(G_1\) 的距离矩阵来实现典型的时间 - 存储权衡。该矩阵的元素 \((v_i, v_j)\) 以加密形式保存 \(v_i\) 和 \(v_j\) 之间最短路径的总权重，必要时还会保存该路径上的中间顶点（同样以加密形式保存）。而且，像插入、删除和更新等典型的数据库操作可以在不强制对数据库进行完全重新加密的情况下执行。 #### 2. 密码学中的混淆与扩散 密码学的核心是对明文应用混淆和扩散以获得相应的密文。在经典加密方案中，混淆通过替换实现，即使用加密密钥将明文的基本组成部分（如字母、符号、比特等）替换为相同或其他类型的对象；扩散则通过置换实现，即在加密密钥的控制下对这些对象进行洗牌。 在一种图加密算法中，扩散是通过向原始图 \(G_1\) 添加新的顶点和带权边来实现的，从而得到图 \(G_2\)。混淆则是通过将图 \(G_2\) 中连接两个顶点的所有边替换为一条边，其权重是被替换边权重的组合，进而得到图 \(G_3\)。此外，在将图 \(G_3\) 发送给接收方 \(B\) 之前，对其顶点进行重命名也能实现混淆。 #### 3. 图 \(G_3\) 的实现 图 \(G_3\) 可以作为一种数据结构从发送方 \(A\) 发送给接收方 \(B\)。例如，\(G_3\) 可以组织成一个二维数组，其行和列由 \(V_3\) 中的顶点标记。由于 \(E_3\) 中的边是无向的，只需要一个三角数组，该数组有 \(n_3 - 1\) 行，标记为 \(v_2, v_3, \cdots, v_{n_3 - 1}, v_{n_3}\)；有 \(n_3 - 1\) 列，标记为 \(v_1, v_2, \cdots, v_{n_3 - 2}, v_{n_3 - 1}\)。三角数组中位置 \((v_i, v_j)\)（\(i > j\)）的元素是边 \((v_i, v_j)\) 的权重 \(W_{i,j}\)。重要的是，虽然 \(G_3\) 以结构化形式发送，但对于不知道密钥 \(K\) 的人来说，它不会透露关于 \(G_1\) 的结构或内容的任何信息。 由于 \(G_1\) 是一个完全图（简单、无向且带权），上述三角数组是实现它的最有效数据结构。在探索输入图 \(G_1\) 的替代加密算法时，我们将继续使用这种数据结构。需要注意的是，虽然加密图 \(G_3\) 比其原始版本 \(G_1\) 大，但两者的大小仅相差一个（相对较小的）乘法常数。具体来说，\(G_1\) 和 \(G_3\) 分别有 \(n_1\) 和 \(O(n_1)\) 个顶点，并且都有 \(O(n_1^2)\) 条边。 #### 4. 替代图加密算法 下面介绍几种不同的图加密算法： - **分别加密每个顶点的边**：发送方和接收方共享的一次性秘密加密/解密密钥是一组 \(n_1\) 个系数矩阵 \(\{X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}\}\)，每个矩阵有 \(n_1 - 1\) 行和 \(n_1 - 1\) 列，且每个矩阵与图 \(G_1\) 中的一个不同顶点相关联。每个矩阵都是非奇异的，其元素均为正数。 - 加密过程：对于图 \(G_1\) 中的每个顶点 \(v_i\)，连接 \(v_i\) 与其 \(n_1 - 1\) 个邻居的边的权重由向量 \(Y_i = [w_{i,1}, w_{i,2}, \cdots, w_{i, i - 1}, w_{i, i + 1}, \cdots, w_{i, n_1}]\) 表示。使用 \((n_1 - 1) \times (n_1 - 1)\) 系数矩阵 \(X_i\) 对该向量进行加密，即 \(A\) 计算向量 \(Z_i^T = X_i \times Y_i^T\)，并将 \(Z_i^T\) 发送给 \(B\)。 - 解密过程：接收方 \(B\) 知道 \(X_i\)，通过 \(Y_i^T = X_i^{-1} \times Z_i^T\) 或解 \(n_1 - 1\) 个方程来获得 \(Y_i\)。 这种方法的缺点是会向窃听者透露过多关于 \(G_1\) 结构的信息，并且每条边的权重会被加密和解密两次。不过，由于使用了 \(n_1\) 个不同的系数矩阵，它比下面的简单变体更有可能抵御密码分析。 - **使用单个系数矩阵**：设 \(R_1\) 表示图 \(G_1\