任意子与拓扑量子计算

### 任意子与拓扑量子计算 #### 1. 马约拉纳零模的非阿贝尔统计 马约拉纳零模（MZMs）具有独特的非阿贝尔统计性质。态 \(|\psi_{ii}\rangle\) 和 \(|\psi_{fi}\rangle\) 具有相同的总费米子宇称，交换 \(\gamma_2\) 和 \(\gamma_3\) 对应于基态流形内态矢量的旋转。这种非平凡的变换揭示了携带马约拉纳的涡旋的非阿贝尔统计特性（因为交换阿贝尔任意子只能产生一个相位因子，即 \(|\psi_{fi}\rangle = e^{i\theta}|\psi_{ii}\rangle\) ）。此外，进行 \(m\) 次顺序交换 \(U_{i_m,j_m} \cdots U_{i_1,j_1}\) 得到的最终状态不仅取决于进行了哪些交换，还取决于交换的顺序。这些由编织操作产生的非平凡量子演化是使用 MZMs 进行拓扑量子计算的关键要素。 #### 2. 马约拉纳零模的融合 融合规则为非阿贝尔任意子行为提供了另一个独特的特征。非阿贝尔任意子与阿贝尔粒子不同，具有多个融合通道。为了实验验证 MZMs 的非阿贝尔性质，确定它们的融合规则在技术上可能比确定它们的交换统计更容易。 以下是检测 MZMs 融合规则的电荷感应实验方案： - **实验设置**：一个部分被具有充电能量 \(E_c\) 的介观超导岛覆盖的半导体（SM）线与块状超导体（SC）耦合。岛的电荷和表征与块状 SC 耦合的约瑟夫森能量由栅极电位控制。当 \(E_J \gg E_c\) 时，线的两端存在两个马约拉纳模式，其特征是具有偶数和奇数费米子宇称的简并基态 \(|\psi_e\rangle\) 和 \(|\psi_o\rangle\) 。增加势垒电位（\(E_J \ll E_c\) ）恢复充电能量，并将简并宇称态转换为具有电荷 \(Q_o\) 和 \(Q_e\) 的非简并本征态。 - **实验步骤**： 1. **创建两个 MZMs**：从具有总电荷 \(Q_{tot}\) 的唯一基态开始，通过降低外部势垒从真空中创建两个 MZMs。设 \(f_{14} = (\gamma_1 + i\gamma_4)/2\) 是与两个马约拉纳相关的费米子算符。降低栅极后，系统演化为状态 \(|0_{14}\rangle\) ，它是费米子数算符 \(\hat{n}_{14} = f_{14}^{\dagger}f_{14}\) 具有本征值 0 的本征态。 2. **创建另外两个 MZMs**：通过提高中央势垒从真空中创建另外两个 MZMs，\(\gamma_2\) 和 \(\gamma_3\) 。系统演化为量子态 \(|0_{14}0_{23}\rangle\) ，它是 \(\hat{n}_{14}\) 和 \(\hat{n}_{23}\) 的本征态。可以根据左右马约拉纳对的占据数 \(\hat{n}_{12}\) 和 \(\hat{n}_{34}\) 重新定义费米子基。在新基下，有 \(|0_{14}0_{23}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0_{12}0_{34}\rangle + |1_{12}1_{34}\rangle)\) 。 3. **恢复充电能量**：通过提高外部势垒恢复充电能量，这会融合对应于 \(\gamma_1\) 和 \(\gamma_2\) 以及 \(\gamma_3\) 、\(\gamma_4\) 的任意子。设 \(|Q_L, Q_R\rangle\) 是双岛系统的唯一基态，其中 \(Q_L\) 和 \(Q_R\) （\(Q_L + Q_R = Q_{tot}\) ）分别表示左右岛的电荷。假设每个岛具有与基态相反（相对）费米子宇称的最低激发态为 \(|Q_L - 1, Q_R + 1\rangle\) 。恢复充电能量后，状态 \(|0_{12}0_{34}\rangle\) 演化为基态 \(|Q_